$L^1$ espacio con valores en un espacio de Banach

Question

He estado leyendo un poco acerca de la integral de Bochner y ahora me pregunto lo siguiente:

Para la teoría de ser "buenos", sería de esperar que

$$L^1([0, \tau], L^1([0, \tau])) \cong L^1([0,\tau] \times [0, \tau]).$$

Es este el caso? ¿Cómo podemos demostrar esto (o donde puedo encontrar más información sobre esto), ya que si tomamos $u$ en el conjunto de la LHS, podemos evaluar $(u(t))(x)$ y queremos mapa, a algunos $u(t,x)$. El problema que yo veo es que $L^1$-son funciones de clases de equivalencia módulo conjuntos de medida cero. Así, para cada $t\in [0,\tau]$ tenemos diferentes conjuntos de medida cero que los de $[0,\tau]^2$. ¿Cómo podemos obtener de todo esto?

Answer 1

No hay necesidad de restringir a intervalos, lo mismo es cierto para medir los espacios de $X$ $Y$ y espacios de Banach $E$ en general:

$L^{1}(X \times Y, E) \cong L^{1}(X,L^{1}(Y,E))$

Edit: Suponga que $X$ $Y$ $\sigma$- finito y completo para el bien de la simplicidad. Véase también la edición de más abajo.

Por definición, cada uno de Bochner-integrable función se puede aproximar por funciones simples. En otras palabras, las funciones de la forma $[A]e$ para un subconjunto medible $A \subset X$ finito de medida y $e \in E$ (o de algunos subespacio denso de $E$, si se prefiere) generan un subespacio denso de $L^{1}(X,E)$. Por lo tanto, usted puede reducir al caso de la definición de un bijection $[A]\cdot ([B] \cdot e) \leftrightarrow [A \times B]\cdot e$ y observar que este es un bijection en conjuntos de generación de densa subespacios de $L^{1}(X, L^{1}(Y,E))$ $L^{1}(X \times Y, E)$ y extender de manera lineal. Que es bien definido y una isometría es un caso especial de Fubini, que es surjective en ambas direcciones de la siguiente manera a partir de la densidad.

El hecho general que subyace a este es el isomorfismo canónico

$L^{1}(Y,E) \cong L^{1}(Y) \hat{\otimes} E$ (proyectiva producto tensor)

y el isomorfismo $L^{1}(X \times Y) \cong L^{1}(X) \hat{\otimes} L^{1}(Y)$ $L^{1}$- espacios de + la asociatividad del producto tensor (y todo esto está demostrado exactamente de la misma manera).

Edit: Para la (no-$\sigma$-finito) caso general, la situación es un poco más sutil y se analiza detenidamente en la sección de ejercicios 253Y de Fremlin de la Teoría de la Medida, Volumen II. Aquí están los puntos esenciales:

1. Para una medida general del espacio de $Y$ uno puede demostrar que $L^{1}(Y,E) \cong L^1(Y)\hat{\otimes} E$ (ver 253Yf (vii)).
2. Para un par de medir los espacios de $(X,\mu)$ $(Y,\nu)$ deje $(X \times Y, \lambda)$ ser la completa localmente determinado producto medir el espacio definido por Fremlin, 251F. El más profundo teorema de 253F en Fremlin y luego nos dice que $L^1(X \times Y, \lambda) \cong L^1(X,\mu) \hat{\otimes} L^1(Y,\nu)$.

Armando estos dos resultados juntos y hacer uso de la asociatividad de la proyectiva producto tensor tenemos

$$\begin{align*}L^1(X \times Y, E) & \cong L^1(X \times Y) \hat{\otimes} E \cong \left(L^1(X) \hat{\otimes} L^1(Y)\right) \hat{\otimes} E & &(\text{using 1. and 2., respectively})\\\ & \cong L^1(X) \hat{\otimes} \left(L^1(Y) \hat{\otimes} E\right) \cong L^1 (X) \hat{\otimes} L^1(Y,E) & &\text{(using associativity and 1.)} \\\ & \cong L^1(X,L^1(Y,E)) & & (\text{using 1. again})\end{align*}$$

como se afirma en una versión anterior de esta respuesta.

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Por último, un comentario sobre user3148 la advertencia contraejemplo. Hay un isomorfismo $(L^{1}(X,E))^{\ast} \cong L_{w^{\ast}}^{\infty}(X,E^{\ast})$ donde el último espacio se define por la debilidad de la$^{\ast}$-medible en el sentido de Gelfand-Dunford. Lo que en este sentido tenemos $L_{w^{\ast}}^{\infty}(X \times Y, E^{\ast}) \cong L_{w^{\ast}}^{\infty}(X, L_{w^{\ast}}^{\infty}(Y,E^{\ast}))$ simplemente por la dualidad de la teoría.

Answer 2

Usted puede definir la obvia isomorfismo $T$ sobre los representantes, que es isométrica por el teorema de Fubini. Isométrico de los mapas definidos sobre los representantes están bien definidos en clases de equivalencia, porque si $u_1$ $u_2$ son representantes de un elemento de la LHS, a continuación,$\|Tu_1-Tu_2\|=\|T(u_1-u_2)\|=\|u_1-u_2\|=0$.

Es un hecho útil que una lineal mapa definido inicialmente en algún tipo de representante a menudo puede ser visto para ser bien definido desde el hecho de que es continua. En este caso, todo el trabajo que está oculto en el teorema de Fubini.

Answer 3

Ya que no soy capaz de comentar sin embargo, escribo esto como respuesta.

Estar preparados para enfrentar el hecho de que $L^\infty([0,T],L^\infty([0,T])) \neq L^\infty([0,T]\times[0,T])$. Para ver esto, observe que la función $$ f = \begin{cases} 1 & x>y\\ 0 & \text{else}\end{casos} $$ no es un elemento del primer espacio.