Mi problema es: ¿Cuál es la expresión en $n$ que equivale a $ \sum_ {i=1}^n \frac {1}{i^2}$ ?
Muchas gracias.
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kevingessner
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No estoy seguro de la orientación de su pregunta, pero tal vez los números armónicos generalizados son lo que usted quiere $$ H_{n,r} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^r} , $$
y en particular $H_{n,2}$
Puede encontrar más información aquí, incluyendo una identidad muy bonita para $H_{n,2}$ por B. Cloitre.
No creo que exista una forma "cerrada". Se puede dar una buena aproximación utilizando el Suma de Euler-McLaurin fórmula, sin embargo:
$$\sum_{j=1}^{n} \dfrac{1}{j^2} = \dfrac{\pi^2}{6} - \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{2n^2} + \mathcal{O}(\dfrac{1}{n^3})$$
(Si necesitas más precisión puedes incluir más términos de la fórmula de la suma para obtener los coeficientes de los términos de orden inferior)
Nota: La fórmula de la suma de Euler McLaurin sólo nos dice que
$$\sum_{j=1}^{n} \dfrac{1}{j^2} = C - \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{2n^2} + \mathcal{O}(\dfrac{1}{n^3})$$
para alguna constante $\displaystyle C$ .
Sabemos por otros medios que $\displaystyle C = \dfrac{\pi^2}{6}$ por ejemplo, ver esto para una multitud de maneras: Diferentes métodos para calcular $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}$
Valery Viktorovsky
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No estoy seguro de si esto funcionará o no, pero tal vez podrías intentar escribir la expresión en términos de factoriales descendentes . Entonces, tal vez use suma por partes . No estoy seguro de lo bien que funcionará esto, pero podrías probarlo. ¡Hágame saber lo que descubra!
