Encontrar el radical de algunos ideales

Question

Necesito encontrar los radicales de los siguientes ideales:

i) $\mathfrak{a} = (xy^3, x(x-y))$

ii) $\mathfrak{b} = (xy^3, x^2(y-3))$

iii) $\mathfrak{c} = (x^2(y-z), xy(y-z), xz(y-z)^2)$

¿Puedo utilizar el Nullstellensatz? Mi trabajo a continuación parece un poco demasiado fácil, lo que me hace pensar que estoy haciendo algo horrible.

Dejemos que $k$ sea un campo algebraicamente cerrado.

i) Es bastante obvio que $Z(\mathfrak{a}) = \{ (0,t) \ | \ t \in k \} = Z(x)$ . Así que por el Nullstellensatz, $\sqrt{\mathfrak{a}} = I(Z(\mathfrak{a})) = I(Z(x)) = (x)$ .

ii) ¿No es lo mismo que lo anterior?

iii) $Z(\mathfrak{c}) = \{ (0,s,t) \ | \ s,t \in k \}\cup \{(s,t,t) \ | \ s,t \in k\} = Z(x) \cup Z(y-z)$ . Así que $I(Z(\mathfrak{c})) = I(Z(x)) \cap I(Z(y-z)) = (x) \cap (y-z) = (x(y-z))$

¿Estoy infringiendo alguna ley?

Gracias.

Answer 1

Tiene razón.

Sin embargo, puede emplear el símbolo $V$ . Entonces $$\begin{eqnarray}V(\mathfrak{a})&=&V(xy^3,x(x-y))=V(x,y^3)\cap V(x(x-y))\\ &=&(V(x)\cup V(y))\cap (V(x)\cup V(x-y))\\ &=&V(x)\cup V(x,y)=V(x)\end{eqnarray}$$

Así que, $\sqrt{\mathfrak{a}}=\sqrt{(x)}$ en cualquier anillo conmutativo. Si nuestro anillo es el anillo de polinomios $k[x,y]$ sobre un campo $k$ entonces $(x)$ es un ideal primo y $\sqrt{(x)}=(x)$ .