Irreductibilidad de polinomios

Question

Esta es una pregunta muy básica, pero me frustró un poco. Estoy lidiando con polinomios y tratando de ver si son irreducible o no. Ahora, puedo aplicar el Criterio de Eisenstein, y deducir de algunos de los mejores p si un polinomio sobre Z es irreducible sobre Q o no y que se puede clasificar de acuerdo con polinomios básicos que podemos factorise fácilmente.

Sin embargo estoy mirando el polinomio $t^3 - 2$. No me parece que este factor, sino una revisión del libro está pidiendo que nos factorise en irreducibles más de una) $\mathbb{Z}$, b) $\mathbb{Q}$, c) $\mathbb{R}$, d) $\mathbb{C}$, e) $\mathbb{Z}_3$, f) $\mathbb{Z}_5$, por lo que obviamente debe ser reducible en uno de estos.

Me equivoco al pensar que este es irreducible sobre todos? (He intentado muchas veces para factorise en cualquier tipo de irreducibles, pero los coeficientes nunca coinciden, así que no sé lo que estoy haciendo mal).

Yo realmente apreciaría si alguien podría explicar esto a mí, de una manera muy simple. Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que desde su polinomio $f(t)=t^3-2$ es un cúbicos, es irreducible o tiene una relación lineal factor, y por lo tanto una raíz. Esto debería simplificar las cosas un poco.

Más $\mathbb{Z}$, $f$ es irreductible por el criterio de Eisenstein con $p=2$. Por lo tanto $f$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ por Gauss del lexema.

Más $\mathbb{R}$, $f$ tiene una raíz (es decir,$\sqrt[3]{2}$) y así es reducible. De manera similar sobre $\mathbb{C}$.

Más de $\mathbb{Z}_3$ $\mathbb{Z}_5$ (que supongo media de $\mathbb{Z}$ modulo $3$$5$, no el $3$ $5$- adics), sólo hay un par de posibles raíces para comprobar. En $\mathbb{Z}_3$, $0^3=0$, $1^3=1$, $2^3=8=2$, por lo $t=2$ es una raíz. En $\mathbb{Z}_5$, $0^3=0$, $1^3=1$, $2^3=8=3$, $3^3=27=2$, por lo $3$ es una raíz.

Answer 2

Más de $\mathbb{Z}$, ya que el polinomio es primitivo (sin factores comunes de los coeficientes) y de grado $3$, tiene una raíz o es irreductible. Puesto que el polinomio no tiene raíces racionales, es irreducible sobre $\mathbb{Z}$.

Más de $\mathbb{Q}$, sólo tenemos que comprobar raíces. No hay ninguna, por lo que el polinomio es irreducible sobre$\mathbb{Q}$.

Más de $\mathbb{R}$, el polinomio tiene al menos una raíz real, $\sqrt[3]{2}$. Esto le da $$f(x) = x^3-2 = (x-\sqrt[3]{2})(x + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}).$$ Ahora tenemos que comprobar si el cuadrática es reducible o irreducible sobre $\mathbb{R}$. El discriminante es $$\left(\sqrt[3]{2}\right)^2 - 4\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{4}-4\sqrt[3]{4}=-3\sqrt[3]{4}\lt 0.$$ Desde el discriminante es negativo, la ecuación cuadrática es irreducible sobre $\mathbb{R}$. Así que esto le da la factorización en irreducibles en $\mathbb{R}$.

Para obtener la factorización en $\mathbb{C}$, sólo el factor de la ecuación cuadrática: $$f(x) = (x-\sqrt[3]{2})(x-\omega\sqrt[3]{2})(x-\omega^2\sqrt[3]{2})$$ donde $\omega=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ es una primitiva raíz cúbica de la unidad. Usted puede conseguir esto mediante el uso de la fórmula cuadrática en $x^2+\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4}$, o señalando que las tres raíces de $x^3-2$ son los tres complejos cúbicos raíces de $2$. Si $\alpha$ $\beta$ son dos raíces cúbicas de $2$, $\alpha/\beta$ es una raíz cúbica de a $1$ (sólo al cubo, a ver que es igual a $1$; si $\alpha\neq \beta$, $\beta=\alpha\omega$ o $\beta=\alpha\omega^2$.

Más de $\mathbb{Z}_3$, tenemos el "primer sueño": $(a+b)^3 = a^3+b^3$, debido a la característica es $3$. Desde $2^3\equiv 2\pmod{3}$, obtenemos $$x^3-2 = x^3-2^3 = (x-2)^3$$ por lo que la factorización en irreducibles es $x^3-2 = (x-2)(x-2)(x-2)$.

Más de $\mathbb{Z}_5$,$3^3\equiv 2\pmod{5}$, lo $x-3$ divide $x^3-2$. Tenemos $$x^3-2 = (x-3)(x^2+3x+4).$$ Ahora comprobamos la ecuación cuadrática. El discriminante es $9-16 = -7 \equiv 3\pmod{5}$. Desde $3$ no es un cuadrado modulo $5$, el discriminante no es un cuadrado en $\mathbb{Z}_5$, por lo que la cuadrática es irreductible. Esto le da la factorización en $\mathbb{Z}_5$.

Answer 3

$t^3-2=(t-\sqrt[3]{2})(t^2+(\sqrt[3]2)t+\sqrt[3]4)$

Answer 4

Si encuentra una raíz $t=a$ $t-a$ es un factor del polinomio original. Esto significa (compara los coeficientes de $t^3$):

$$t^3-2 = (t-a)(t^2+bt+c)$$

Comparando coeficientes obtenemos que $ac=2$ (término constante) y $-a+b=0$ (término cuadrático), así que usted puede calcular $b$ y $c$ y completar la factorización. Conoces que el término lineal trabajarán porque se ha comprobado que $a$ es una raíz, pero esto se puede usar para comprobar su aritmética.