¿Acertijo: Dada una potencia de número entero, cualquier número entero a este poder empieza con el poder?

Question

Al principio me encontrado el siguiente acertijo en algún lugar existe un entero $n$ tal que $n^{2004}$ comienza (desde la izquierda) por $2004$ ?

Yo era incapaz de encontrar una respuesta, pero me pareció que la pregunta más interesante, y no podía encontrar cualquier pregunta sobre el MSE, por lo tanto me pregunto :

Dado un no trivial entero positivo $a$, cuando existe un entero positivo $n$ tal que $n^a$ comienza por $a$ ?

(Por trivial enteros me refiero a casos como el de $a=1,a=2,\dots$ etc para que $n$ muy fácilmente puede ser encontrado)

Answer 1

Sí, siempre es posible. Como se indica en los comentarios, que busca un $n\in\mathbb{N}$ tal que $a\cdot 10^k\leq n^a<(a+1)\cdot 10^k$ $k\in\mathbb{N}$. Para cualquier $k$, que $m_k$ ser el mayor entero tal que $m_k^a< a\cdot 10^k$. Entonces el $(m_k+1)^a\geq a\cdot 10^k$ y $(m_k+1)^a<(a+1)\cdot 10^k$ siempre $$\left(\frac{m_k+1}{m_k}\right)^a\leq\frac{a+1}{a}.$$ This last inequality is true as long as $m_k$ is sufficiently large, since the left-hand side converges to $1$ as $m_k\to \infty$. But $m_k\to\infty$ as $k\to\infty$, so this inequality must hold for all sufficiently large $k$. Thus $n=m_k+1$ is a number of the sort you seek for all sufficiently large $k$.

Answer 2

Este es un caso especial de la siguiente teorema (Lema 2.1 en este papel en la disyuntiva de secuencias), cuya prueba es que a lo largo de la misma línea como la que se registra en la respuesta por @EricWofsey:

Si $a_1, a_2, a_3, \dots$ es estrictamente creciente secuencia infinita de enteros positivos tales que $$\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1$$ then for any positive integer $m$ y cualquier entero de la base de $b \ge 2$, hay un $a_n$ cuya expresión en base $b$ se inicia con la expresión de $m$ base $b$.

Su resultado es, entonces, el caso muy especial de toma de $a_n = n^k$$k=m$. Para este y otros casos especiales, vea estos ejemplos de la disyuntiva secuencias. (E. g., para cualquier entero positivo, hay infinitos números primos cuya representación comienza con los dígitos de ese número.)

NB: Para cualquier entero positivo exponente $k$ y cualquier deseada entero positivo $m$, hay infinitamente muchos enteros positivos $n$ tal que la representación de la $n^k$ comienza con la representación de $m$; además, esto tiene para representaciones digitales en cualquier entero base $b \ge 2$.