La derivada de $x!$

Question

Estaba tratando de calcular la derivada de $x!$ pero me encontré con una gran cantidad de números. ¿Es siquiera posible calcularlo? Porque en una aplicación llamada GRAPHER cuando escribí $(x!)'$ me devolvió el gráfico de esta función. Aquí está:

Answer 1

La función $ f(x) = x! $ está bien definida solo para $ x \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \} $. ¡Las derivadas de dicha función no existen; ni siquiera es una función continua! Una extensión de $f$ para $ x \in \mathbb{R} $ es la Función Gamma; y tiene derivadas.

Answer 2

La función gamma, la generalización más conocida del factorial, se da por la fórmula a continuación:

$\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt$ $(x>0)$

Es directo de la definición que $\Gamma(1)=1$ y $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$, por lo tanto, para un entero positivo $n$, se cumple que $\Gamma(n)=(n-1)!$.

Entonces obtenemos $\Gamma'(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\ln tdt$.

Answer 3

Wikipedia https://es.wikipedia.org/wiki/Función_gamma da la derivada de la función Gamma:

$\Gamma'(m+1) = m! \left( - \gamma + \sum_{k=1}^m\frac{1}{k} \right)\,.$

Answer 4

Ten en cuenta que lo que estás buscando derivar es $z!$. Esto significa que tienes que extender la función factorial sobre los números reales. Entonces básicamente queremos una función $f(x)$ tal que $$f(x+1)=(x+1)f(x)$$ Afortunadamente, Wikipedia contiene alguna información sobre la extensión de la función factorial. Una de esas extensiones se llama la función Gamma, la cual se define como $$z!=\Gamma (z+1)=\int_{0}^{\infty} x^{z}e^{-x} \mathrm{d}x$$ Podemos verificar que la función Gamma satisface $$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$$$$\Gamma(1)=1$$ Como se demostró aquí. Sin embargo, tienes curiosidad sobre su derivada. También necesitamos saber qué es la función digamma para aprender sobre eso. Ten en cuenta que la función digamma se define como $$\psi (x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln\left(\Gamma(x)\right)=\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$$ Entonces la derivada de $\Gamma (x)$ es $\Gamma (x) \psi(x).

Answer 5

La función $x\mapsto x! = x(x-1)(x-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1$ solo tiene sentido cuando $x$ es un entero no negativo ($0,1,2,3,\ldots$). No está definida para todos los números reales. Eso es un problema cuando intentas encontrar su derivada --- recuerda, a partir de la definición de una derivada, es $$ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$ Entonces, para diferenciar la función factorial tendríamos que poder descubrir qué es $(x+h)!$ para valores de $h$ muy pequeños. Por ejemplo, para encontrar la derivada de la función factorial en $6$ tendríamos que ser capaces de encontrar $6.003!$

Entonces la pregunta es, ¿cuál es una buena manera de extender la función factorial? En otras palabras, ¿existe una nueva función que podamos idear, que esté definida en todos los números reales y sea también igual a la función factorial en los enteros no negativos?

La respuesta es: Sí. Como indican otras respuestas, la extensión natural es la función Gamma $$ \Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}\ dt $$ La razón por la que es una extensión natural de la función factorial involucra la integración por partes, y es un buen ejercicio en una segunda clase de cálculo. Cuando la gente habla sobre la derivada de la función factorial, están hablando de la derivada de la función Gamma.