$\sqrt{x}$ no es una función Lipschitz

Question

Una función f tal que $$ |f(x)-f(y)| \leq C|x-y| $$

para todos $x$ y $y$ , donde $C$ es una constante independiente de $x$ y $y$ se llama función Lipschitz

demostrar que $f(x)=\sqrt{x}\hspace{3mm} \forall x \in \mathbb{R_{+}}$ no es una función Lipschitz

De hecho, no existe tal constante C en la que $$ |\sqrt{x}-\sqrt{y}| \leq C|x-y| \hspace{4mm} \forall x,y \in \mathbb{R_{+}} $$ sólo tenemos esa desigualdad $$ |\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leq |\sqrt{x}|+|\sqrt{y}| $$ ¿Estoy en lo cierto?

comentario para @Vintarel i plot it no se gráficamente "Lipschitz" significa? ¿cuál es el problema de la gráfica de la función raíz cuadrada?

en la wikipedia dicen

Funciones continuas que no son (globalmente) continuas de Lipschitz La función f(x) = \sqrt {x} definida en [0, 1] no es continua de Lipschitz. Esta función se vuelve infinitamente empinada a medida que x se acerca a 0, ya que su derivada se vuelve infinita. Sin embargo, es uniformemente continua, así como continua de Hölder de clase $C^{0,\alpha}$ α para $α ≤ 1/2$ . Referencia

1] ¿podría alguien explicarme esto con matemáticas y no con palabras, por favor?

2] ¿Qué significa gráficamente "Lipschitz"?

Answer 1

Una pista: por qué no es posible encontrar un $C$ tal que $$ |\sqrt{x} - \sqrt{0}|\leq C|x-0| $$ Para todos $x \geq 0$ ?

Como regla general: Nótese que una función diferenciable será necesariamente Lipschitz en cualquier intervalo en el que su derivada esté acotada.

En respuesta al extracto de la wikipedia: "Esta función se vuelve infinitamente empinada a medida que $x$ se acerca a $0$ "es otra forma de decir que $f'(x) \to \infty$ como $x \to 0$ . Si se observa la pendiente de la línea tangente en cada $x$ como $x$ se acerca a $0$ Estas líneas tangentes se vuelven cada vez más empinadas, acercándose a una tangente vertical en $x = 0$ .

"Gráficamente", podemos decir que una función diferenciable será Lipschitz (si y) sólo si nunca tiene una línea tangente vertical.

Algunas funciones que no son Lipschitz debido a una derivada no limitada: $$ f(x) = x^{1/3}\\ f(x) = x^{1/n},\quad n \in \mathbb{N}\\ $$ Un ejemplo más sutil: $$ f(x) = x^2,\quad x \in \mathbb{R}\\ f(x) = \sin(x^2), \quad x \in \mathbb{R} $$ Tenga en cuenta en estos casos que aunque $f'(x)$ es continua, no hay límite superior para $f'(x)$ sobre el dominio de interés.

Answer 2

Usted tiene $${\sqrt{1/n} - \sqrt{0}\over{1/n - 0}} = {1/\sqrt{n}\over {1\over n}} = \sqrt{n}.$$ Esta proporción puede hacerse tan grande como se quiera eligiendo $n$ grande. Por lo tanto, la función raíz cuadrada no es Lipschitz.

Answer 3

Supongamos que $\sqrt{x}$ es una función Lipschitz, entonces existe $C$ tal que

$$\Big|\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{y-x}\Big| \le C$$

Ahora, dejemos $y=2x$ Así que

$$(\sqrt{2}-1)x^{-\frac{1}{2}}\le C$$

Dejar $x→0$ da una contradicción.

Answer 4

$x \geq y$ implica $\sqrt{x} \geq \sqrt{y}$ (monótono)

Entonces necesitas $\sqrt{x} - \sqrt{y} \leq C(x-y)$ para $x \ge y$

Utilice $a^2 - b^2 = \left(a-b\right)\left(a+b\right)$ para dividir ambos lados por el (positivo) $\sqrt{x} - \sqrt{y}$ para conseguir $1 \leq C(\sqrt{x} + \sqrt{y})$ o $C \geq \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$ . Obviamente, la fractura diverge como $(x,y)$ se acerca a $(0,0)$ por lo que no hay límite superior $C$ para satisfacer el requisito.

Answer 5

$\sqrt{}$ es monótono, por lo que sólo hay que asumir $x \geq y$ entonces se pueden eliminar los valores absolutos y se simplifica a $1 \leq C(\sqrt{x} + \sqrt{y}$ . Dado que se puede hacer que la suma de las raíces cuadradas sea arbitrariamente pequeña (disminuyendo convenientemente $x$ y $y$ ), en cuanto sea menor que $1/C$ la desigualdad ya no se mantiene.