Conexiones/motivaciones de "Sumas de dos cuadrados" de otros campos de las matemáticas.

Question

Estoy para enseñar la sección 18 de los "Elementales de la Teoría de números" (Dudley) - las Sumas de Dos Cuadrados - a de pregrado Número de clase de Teoría, y estoy teniendo problemas para cultivar otra cosa que una repetición de la disección de los lemas/teoremas presentados en el texto.

El profesor de copias (exclusivamente) a partir del texto en la pizarra durante las clases, pero me gustaría presentar a los estudiantes con algo un poco más interesante y que ellos no pueden encontrar en su texto.

¿Cuáles son las conexiones de las "Sumas de Dos Cuadrados" a otros campos de las matemáticas? ¿Por qué nadie se preocupa por solucionar $n = x^2 + y^2$ en los enteros?

Soy consciente de la norma de los enteros de Gauss, y probablemente mencionar algo acerca de cómo la identidad $$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac -bd)^2 + (ad + bc)^2$$ is deeper than just the verification process of multiplying it out (e.g. I might introduce $\mathbb{Z}[i] $ y la mención de que "la norma es multiplicativo").

¿Qué más hay? El libro se menciona (pero sólo de pasada) suma de tres y cuatro plazas, Waring del Problema, y de Goldbach de la Conjetura.

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También, he visto Akhil la respuesta y la de Navidad de Fermat pregunta, pero estos no admiten respuestas a mi pregunta.

Answer 1

Considerar el Laplaciano $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$ actuando en funciones interesantes $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}$ que son doblemente periódica en el sentido de que $f(x, y) = f(x+1, y) = f(x, y+1)$. Hay un bonito conjunto de vectores propios que uno puede escribir dada por $$f_{a,b}(x, y) = e^{2 \pi i (ax + by)}, a, b \in \mathbb{Z}$$

con autovalores $-4 \pi^2 (a^2 + b^2)$, y estos resultan ser los vectores propios, por lo que es posible ampliar un adecuado clase de tales funciones en términos de combinaciones lineales de las anteriores.

Los vectores propios de la Laplaciano son importantes porque pueden ser utilizados para construir las soluciones a la ecuación de onda, la ecuación del calory la ecuación de Schrödinger. Voy a restringir a mí mismo para hablar acerca de la ecuación de onda: en ese contexto, los vectores propios de la Laplaciano dar las ondas estacionarias, y la correspondiente autovalor indica cuál es la frecuencia de la onda estacionaria. Así que los autovalores de la Laplaciano en un espacio de decirle a usted acerca de la "acústica" de un espacio (aquí el torus $\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$). Para más detalles, véase el artículo de Wikipedia sobre la audiencia de la forma de un tambor. Más general de la palabra clave aquí es espectral de la geometría.

Answer 2

En un mucho mayor nivel de primaria, uno podría querer dibujar conexiones con lo que ya saben.

Por ejemplo, hay una muy buena conexión entre la identidad $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac -bd)^2 + (ad + bc)^2$ y la adición de las leyes de seno y coseno.

Como otro ejemplo, supongamos que $a$ $b$ son positivas, y lo que queremos es maximizar $ax+by$$x^2+y^2=r^2$. El uso de $(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2$, podemos ver que el máximo de $ax+by$ al $ay-bx=0$.

Entonces no es la generalización (Brahmagupta de identidad). Conexión con los números de Fibonacci. Todo está conectado con todo lo demás!

Answer 3

En otra dirección, contando el % de soluciones $n=ax^2+bxy+cx^2$, a formas cuadráticas con discriminante negativo suele ser el punto de partida para un curso sobre teoría del número algébrico. Creo que Gauss fue uno de los primeros a pensar en esta área. Esto conduce a la definición de número de la clase, y podemos probar cosas como fórmula de número de clase de Dirichlet.

Soluciones al $x^2+y^2$ es uno de los ejemplos más sencillos para empezar.