Dejemos que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea una función tal que para todo $x_0\in\mathbb{R}$ tenemos $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=g(x_0)\in \mathbb{R}$ .
Es $g$ ¿una función continua?
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Fijar un $x_0$ y que un $\epsilon>0$ se le dará. Tenemos que demostrar que hay una $\delta>0$ tal que $|g(x)-g(x_0)|<\epsilon$ tan pronto como $|x-x_0|<\delta$ .
Por supuesto en $f$ y $g$ hay un $\delta>0$ tal que $$|f(x)-g(x_0)|<{\epsilon\over2}\qquad \bigl(0<|x-x_0|<\delta\bigr)\ .$$ Consideremos ahora un $x$ con $|x-x_0|<\delta$ . Hay un $\delta'>0$ tal que $$|f(x')-g(x)|<{\epsilon\over2}\qquad \bigl(0<|x'-x|<\delta'\bigr)\ .$$ El conjunto abierto $$S:=\ ]x_0-\delta, x_0+\delta[\ \cap\ ]x-\delta',x+\delta'[\ \ \setminus\{x_0,x\}$$ es no vacía; por lo tanto, podemos tomar un punto $x'\in S$ y luego tener $$|g(x)-g(x_0)|<|g(x)-f(x')|+|f(x')-g(x_0)|<{\epsilon\over2}+{\epsilon\over2}=\epsilon\ .$$
Al.
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Toma $\varepsilon>0$ .
Por definición del límite (suponiendo que el límite en el enunciado esté bien definido, de lo contrario la pregunta no tiene sentido) existe algún $\delta>0$ de manera que en el perforado intervalo $(x_0-\delta,x_0+\delta)\setminus\{x_0\}$ obtenemos $|f(x)-g(x_0)|<\varepsilon/2$ . En particular, cada $g(x)$ en este intervalo tiene que estar estrictamente dentro de $\varepsilon$ de $g(x_0)$ ya que los valores de $f$ están acotados dentro de $\varepsilon/2$ de $g(x_0)$ por lo que cualquier límite en los valores de $f$ (que definen $g$ ) también se acotará posteriormente dentro de $\varepsilon$ lo que demuestra la continuidad de $g$ .
Tenga en cuenta que esto no se basa en la continuidad de $f$ que no es necesario para $g$ para ser continua, por ejemplo $f$ puede contener infinitas discontinuidades aisladas y removibles, y $g$ sigue siendo felizmente continua.
