Encontrar la solución en números enteros de $x^3+x-y^2=1$

Question

Encontrar enteros $x$ y $y$ tal que % $ $$x^3+x-y^2=1.$

Mi intento:

$$x^3+x-y^2=1 \implies x^3+x-1=y^2.$$

¿Ahora, cuando $x^3+x-1$ es un cuadrado perfecto?

Answer 1

El % de curva elíptica $y^2=x^3+x-1$tiene solamente finito muchos puntos integradas, según la Calculadora online de magma - ver aquí en MO, es decir, los puntos $$ (x, y) = (1, \pm 1), (2, \pm3), (\pm 13, 47). $$