¿Qué el Cayley graph del grupo Grigorchuk ' como '?

Question

Recientemente he renovado mi interés en mosaicos, y como resultado han dado algunos toques en el Procesamiento de palabras en Grupos (en búsqueda de una buena información sobre la automática de grupos relacionados con la hiperbólica apuntados) y el increíble Las Simetrías de las Cosas. Esto me hizo pensar sobre la pregunta del título: el isogonal de incrustación de grafos de Cayley de ciertos grupos (el ejemplo más sencillo, ciertamente, ser $\mathbb{Z}^2$ con la presentación de $\{a,b\ |\ ab=ba\}$) como el avión apuntados implica el polinomio de crecimiento de los grupos. Por el contrario, mientras que un grupo como el grupo libre en dos generadores no puede tener un 'bonito' que la integración en el avión debido a su tasa de crecimiento exponencial, o puede ser incorporado bastante bien en el plano hiperbólico (de hecho, las versiones de este tipo de incrustar el formulario de la base de los diferentes hiperbólico de las herramientas de visualización; ver, por ejemplo, http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_tree). Entonces, ¿qué acerca de la Grigorchuk Grupo $G$?

Para ser un poco más concreto: estoy particularmente interesado en el grafo de Cayley de a $G$ con respecto a su 'completo' (no mínimo) conjunto de generadores $a,b,c,d$. Aquí están las cosas que he sido capaz de averiguar acerca de los primeros principios:

• Obviamente, este gráfico no puede ser isogonally incrustado en cualquier espacio Euclidiano, por las razones dadas anteriormente: desde su tasa de crecimiento es superpolynomial, no hay suficiente espacio para todos los diferentes elementos del grupo de la longitud de la $n$ $n$ unidad de 'pasos' de distancia desde el origen en cualquier isogonal manera.
• La gráfica tiene arbitrariamente grande 'caras' (es decir, un mínimo de ciclos), correspondiente a la falta de un número finito de presentación de $G$.
• Estoy bastante seguro de que el grafo no es plano: desde los generadores $b,c,d$ generar un subgrupo de $G$ isomorfo a la Klein 4-grupo, cada vértice del grafo de Cayley es parte de algunos incrustado $K_4$ (correspondiente a un elemento de la forma $wa$ y los elementos asociados a $wab, wac, wad$). En particular, los cuatro elementos $e, b, c, d$ formulario $K_4$ subgrafo, y cualquier conexión independiente de cada uno de estos cuatro elementos con algún otro elemento común (que estoy razonablemente seguro de que debe existir) podría inducir una $K_5$ en el grafo de Cayley y por lo tanto implica no planificado.
• OTOH, parece que no debería ser posible 'mod' el grafo de Cayley de a $G$ estos $K_4$s, la creación de un grafo reducido, donde los vértices de la gráfica corresponden a las clases de equivalencia $\langle wa, wab, wac, wad\rangle$ de los elementos y los cuatro bordes de cada vértice corresponde a (a la derecha) la multiplicación del elemento $wa$ por $a$, $ba$, $ca$, y $da$; este parece que no debe cambiar fundamentalmente la estructura de la gráfica, simplemente colapsar el 'trivial' de la estructura local.

Esta última reducción de grafos que estoy particularmente curioso acerca de: ¿ es plana? Mejor aún, ¿tiene algún tipo de niza (idealmente isogonal) integración en el plano hiperbólico? Y si no, hay al menos interesantes (de nuevo, idealmente isogonal) la incorporación de la totalidad de Cayley gráfico de $G$ en algunos (finito-dimensional) espacio hiperbólico?

Answer 1

Yo no sé acerca de la integración en espacios de dimensiones superiores, pero aquí es un teorema general acerca de la dimensión 2:

Supongamos que $G$ es un finitely generado por el grupo en el que se admite un grafo de Cayley que tiene una acumulación-libre (es decir, la correcta) topológica de la incrustación de objetos en el plano. A continuación, $G$ no han intermedio de crecimiento.

Este es un corolario del Teorema 1.1 aquí, dado que los grupos que actúan correctamente de forma discontinua en las superficies planas son bien entendido (ver referencias en el enlace de arriba) y, en particular, que no puede tener intermedio de crecimiento. Ahora, si usted tiene un isogonal de integración en el plano hiperbólico $H^2$, luego esta inclusión es la acumulación gratis en $H^2$. La aplicación de la inversa de la exponencial mapa para $H^2$ a esta inclusión se obtiene una acumulación libre de la incrustación en el $R^2$.

No estoy seguro de lo que sucede si se permite a los no-incrustaciones, echa un vistazo a las referencias en el enlace, tal vez usted puede encontrar más información acerca de esta.

Una cosa más: Si se le cae la isogonality requisito, a continuación, cada contables gráfico correctamente incrustar en el espacio 3-dimensional (hiperbólica o Euclidiana no importa).

Adición: Si un plano de Cayley gráfico no admitir un adecuado plano de la incrustación, entonces es fácil demostrar (vea el mismo enlace de arriba) que el grupo tiene al menos 2 extremos, es decir, no se puede tener intermedio de crecimiento.