¿Cómo encontrar subgrupos no cíclicos de un grupo?

Question

Intento encontrar todos los subgrupos de un grupo determinado. Para ello, sigo los siguientes pasos:

1. Mira el orden del grupo. Por ejemplo, si es $15$ los subgrupos sólo pueden ser de orden $1,3,5,15$ .
2. Entonces encuentra los grupos cíclicos.
3. Entonces encuentra los grupos no cíclicos.

Pero no sé cómo encontrar los grupos no cíclicos. Por ejemplo, consideremos el grupo diédrico $D_4$ entonces los subgrupos son de los órdenes $1,2,4$ o $8$ . Encontré todos los grupos cíclicos. Entonces, vi que hay grupos no cíclicos de orden $4$ . ¿Cómo puedo encontrarlos? Agradezco cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

En general, encontrar los subgrupos (de un grupo grande) no será fácil.

En el caso de $D_4$ los únicos grupos no cíclicos además de $D_4$ sólo puede ser de orden $4$ . Así que usted está buscando en subgrupos de $G$ que consiste en la identidad, y tres involuciones (elementos de orden $2$ ) $a, b, c = ab$ .

Ahora prueba las distintas posibilidades, evitando las repeticiones.

Answer 2

Una cosa que puedes probar es encontrar los grupos de cada orden. Un grupo de orden $2$ debe ser isomorfo a $\mathbb{Z}_2$ que contiene la identidad y otro elemento de orden $2$ . ¿Cuántos elementos de orden $2$ ¿están ahí?

Para los grupos de orden $4$ son isomorfas a $\mathbb{Z}_4$ o $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ . En $\mathbb{Z}_4$ contiene un elemento de orden $4$ ¿Qué es? El otro caso es similar.

También puede encontrarlos utilizando Explorador de grupos .

Answer 3

En el $n=15=3\cdot 5$ recordemos que todo grupo de orden $p$ primo es cíclico. Esto nos deja con los subgrupos de orden $15$ . ¿Cuántos hay?

Por supuesto, esto no es tan fácil en general. En el caso de los grupos finitos generales, la clasificación es una pieza de trabajo. Los grupos abelianos finitos son más fáciles, ya que entran en la clasificación de grupos abelianos de generación finita .

Ahora, $D_4$ no es tan malo. Lo único no trivial es encontrar todos los subgrupos de orden $4$ . Los cíclicos corresponden al orden $4$ elementos en $D_4$ . Los no cíclicos son de la forma $\{\pm 1,\pm z\}$ donde $z$ es una orden $2$ elemento en $D_4$ . Desde $D_4$ tiene ocho elementos, es bastante fácil determinar todo este orden $2$ y $4$ elementos.

Answer 4

Para dos subgrupos cualesquiera $U,V \leq G$ existe un único subgrupo más pequeño $\langle U,V \rangle$ por encima de $U$ y $V$ . Está formado por todos los productos finitos de elementos de $U$ y $V$ . Puede ganar todos los subgrupos de $G$ empezando por los subgrupos cíclicos e iterando esa operación hasta que no aparezca ningún grupo nuevo.

Answer 5

Siempre puedes empezar tomando los generadores de dos de tus subgrupos cíclicos y ver si generan algo que no tengas ya.