El polinomio es primo cuando se evalúa en números primos

Question

Dejemos que $P(x)$ sea un polinomio con coeficientes enteros tal que $P(p)$ es primo para todos los primos $p$ . Cuáles son todos los polinomios posibles $P(x)$ ?

Ciertamente $P(x)=x$ y $P(x)=p$ con $p$ primo satisfacen esa condición. ¿Hay otros?

Answer 1

Vamos a demostrar que sólo estos 2 casos son posibles, como usted ha mencionado anteriormente.
En primer lugar, si $f(x)$ es un polinomio constante con la propiedad anterior, entonces obviamente
$f(x)=p$ con $p$ siendo de primera y estamos bien.

Supongamos ahora que $a_n\neq 0$ y $f(x)=a_nx^n+\cdots +a_0$ sea un polinomio como el que preguntas.
Tenemos dos casos:

1) Hay un primer $p$ que es un divisor primo del polinomio en algún valor, y $p$ no es un divisor de $a_0$ .

Supongamos que $f(k)\equiv0$ $\ (modp)$ para un número entero adecuado $k$ .

$p$ no divide $a_0$ Así que podemos ver fácilmente que $\gcd(p,k)=1$ .
Por el teorema de Dirichlet sabemos que existen infinitos primos de la forma $q=k+n\cdot p$ .
Así que, $f(q)=f(k+n\cdot p)\equiv0$$ (modp) $ which means that $ f(q)=p $ because as you want $ f(q)$ debe ser primo.
Pero hay infinitos primos $q$ de la forma anterior, por lo que $f(x)$ debe tomar el valor $p$ infinitamente a menudo lo que significa que $f(x)=p$ para todos $x$ , lo cual es una contradicción
(porque como asumimos $f(x)$ no es constante)

2) Todo divisor primo de $f(x)$ es un divisor de $a_0$

Sabemos que todo polinomio que no es constante tiene infinitos divisores primos, por lo que $a_0$ tiene infinitos divisores primos por lo que $a_0=0$ .
Esto significa que $x$ es un divisor de $f(x)$ siempre, lo que nos muestra que $f(x)/x$ es un número entero y porque queremos $f(q)=q'$ para los primos $q,q'$ entonces $q=q'$ siempre que esto ocurra.
Esto demuestra que $f(x)=x$ por cada $x$ .

Answer 2

Si $P$ tiene coeficientes enteros con raíces racionales, entonces se puede escribir en forma factorizada $P(x)=(k_1 x-\xi_1)\dots(k_n x-\xi_n)$

¿Cómo propones que esto da números primos para todos los primos $x$ ? Dado $k_i x-\xi_i$ es siempre un número entero, sabemos que todos menos uno $k_i x-\xi_i$ debe ser $\pm1$ . ¿Es posible aplicar esto para todos los primos $x$ para $n>1$ ? (no lo es -- ahora muestra por qué)