¿Existe una función continua de [0,1] a R que tiene una cantidad no numerable de los máximos locales?

Question

¿Existe una función continua de $[0,1]$ $R$que tiene una cantidad no numerable de estricta local maxima?

Answer 1

Un estricto máximo local tiene un pinchazo en un barrio en el que los valores son menos que ese valor. Cada barrio tiene un número racional, por lo que cada estricto máximo local está asociado con un número racional. Los racionales son numerables, por lo tanto, la estricta los máximos locales son así.

---

Mi argumento anterior no es riguroso y tiene algunos problemas. Aquí está una más rigurosa.

Para cada estricto máximo local de la ubicación de $a\in[0,1]$ no es un porcentaje ($\delta>0$tal que $0<|x-a|<\delta\implies f(x)<f(a)$. Deje $\delta_a$ ser la menor cota superior de (supremum) de $\delta$'s de la $a$. A continuación,$0<\delta_a\le 1$.

Si $a\ne b$ son de estricto maxima, a continuación,$|a-b|$, la distancia entre el$a$$b$, puede ser menos de $\delta_a$ si $f(b)<f(a)$, pero, a continuación, $|a-b|$ debe ser de al menos $\delta_b$. Por lo $|a-b|\ge\min(\delta_a,\delta_b)$. El $\delta$'s son una medida de la "propagación" de la estricta los máximos locales.

Así que para cualquier $n\in\Bbb Z^+$, el número de $a$ tal que $\delta_a\ge\frac 1n$ es en la mayoría de las $n+1$.

Ahora podemos contar con la estricta los máximos locales: en primer lugar la lista de todos los $a$ tal que $\delta_a\ge \frac 11$, entonces aquellos que $\delta_a\ge\frac 12$, y así sucesivamente. Cada etapa nos da un número finito de estricta los máximos locales, hay countably muchas etapas, y la unión que nos da estricto de los máximos locales. Por lo tanto, existen en la mayoría de los countably muchos estricto de los máximos locales.

Answer 2

Para cualquier local (máximo)$x$, no son números racionales $r<x<s$ tal que $f(a)<f(x)>f(b)$ todos los $r<a<x<b<s$. Si $y$ es que algunas otras máximo que cumplan esta condición para los mismos números racionales $r,s$, suponiendo WLOG que $x<y$, $x$ implica que el $f(x)>f(y)$ y la condición en $y$ implica $f(x)<f(y)$, una contradicción. Por lo tanto para cualquier par $(r,s)\in\Bbb Q^2$ hay un máximo local asociado con él.

Esto implica que hay un surjection a partir de un subconjunto de a $\Bbb Q^2$ para el conjunto de los máximos locales, por lo que hay countably muchos estricto de los máximos locales. Como se señaló en las otras respuestas, no es necesario suponer $f$ es continua.

Answer 3

Si quieres un local maxima que es un débil desigualdad, es decir, $f(x_0)\geq f(x)$ todos los $x$ cerca de $x_0$, entonces seguro, tomar cualquier función constante. Si desea desigualdad estricta, es decir, $f(x_0)>f(x)$ todos los $x$ cerca de $x_0$, entonces no, es imposible. Esto se basa en el hecho de que los números reales tienen una contables.