Orden de grupos cíclicos y la función phi de Euler

Question

Según Wikipedia, un número cíclico (en teoría de grupos) es uno que es coprime a su phi de Euler de la función y es la condición necesaria y suficiente para cualquier grupo de que el fin de ser cíclica. ¿Por qué es eso cierto?

Puedo ver que si $n$ es primo, que garantiza a cualquier grupo de orden $n$ es cíclica, pero no me parece ver cómo extender a $(n,\phi(n))=1$

Sería bueno que si alguien puede que me lo explique. Gracias.

Answer 1

Supongamos $\gcd(n, \phi(n)) > 1$. Si $n$ no es squarefree, existe un primer $p$ tal que $p^2$ divide $n$. A continuación, $H = \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p$ no es cíclico y no es $H \times \mathbb{Z}_{\frac{n}{p^2}}$. Si $n$ es squarefree, existen primos divisores $p$ $q$ $n$ tal que $q$ divide $p-1$. Entonces existe un no-grupo abelian $H$ orden $pq$ $H \times \mathbb{Z}_{\frac{n}{pq}}$ no es cíclico.

La otra dirección no es tan fácil de contestar, pero te voy a dar un par de buenas referencias.

Jungnickel y Gallian dar elemental de pruebas (o al menos ásperos contornos de una prueba) en estos dos artículos:

Jungnickel, Dieter. En la Singularidad de que el Grupo Cíclico de Orden $n$. Amer. De matemáticas. Mensual, Vol. 99, Nº 6 (1992) JSTOR

Gallian, J. R. Moulton, David. Cuando se $\mathbb{Z}_n$ el único grupo de la orden de $n$?, Elemente der Mathematik, Vol. 48 (1993) Enlace al artículo

Pakianathan y Shankar tiene un papel que va más allá de los números cíclicos y le da un número teórico de la caracterización de abelian, nilpotent y solucionable números:

Pakianathan, Jonathan. Shankar, Krishnan. Nilpotent Números. Amer. De matemáticas. Mensual, Vol. 107, Nº 7 (2000) JSTOR