Necesidad de módulos proyectivos

Question

Quería preguntarle por qué requerimos módulos proyectivos. Después de estudiar todos los ingredientes esenciales mi conjetura es -

En primer lugar, hemos trabajado con espacios vectoriales (dicen los módulos a través de campo $F$) (que son libres de módulos) y en la que nos podríamos extender a cualquier fundamento de un submódulo para obtener una base para toda la $V$, por lo que la propiedad P

P- "cualquier submódulo de $V$ es un sumando directo de $V$" está satisfecho.

Pero, en general, para $R$-módulos que no podía expresar cualquier submódulo a ser un sumando directo, y por lo tanto se acuñó semisimple anillos cuya definición es el de los anillos de $R$ para que todos los $R$ módulo de $M$ satisface P

Pero lo que inspiró a la gente a ir a por módulos proyectivos, ¿qué es lo que generalizar?

Dos definiciones equivalentes de un módulo proyectivo P-

• P es isomorfo a un sumando directo de un libre $R$ módulo.

• cada secuencia exacta de la forma $$0 \to M'\to M\to P\to 0$$ divisiones.

Yo estaba buscando la inspiración que le llevó al estudio de módulos proyectivos y cómo ayuda en la simplificación de los estudios de los módulos?

Answer 1

Parte de la motivación viene de la topología, y es conocida como la Serre-Swan Teorema.

Lo que el teorema dice es que, para cualquier compacto de Hausdorff espacio de $X$, hay una correspondencia uno a uno entre el vector de paquetes de más de $X$ y proyectivas de los módulos a través del anillo de $C(X)$ de los verdaderos valores de funciones continuas en $X$. Específicamente, el conjunto de todos los perfiles continuos de un vector paquete es un proyectiva $C(X)$-módulo, y cada proyectiva $C(X)$-módulo tiene esta forma.

La misma afirmación se sostiene en un suave colector si reemplazar $C(X)$ $C^\infty(X)$ (el anillo de lisa real de las funciones con valores en $X$) y "vector paquete", por "suave vector paquete". También hay una geometría algebraica versión más afín a las variedades que involucran la estructura de la gavilla.