Tengo un grupo de $G$ orden $p^n$ $n \ge 1$ $p$ de una prima. Estoy buscando dos subgrupos específicos dentro de $G$: uno de orden $p$ y uno de orden $p^{n-1}$. No creo que me gustaría utilizar los teoremas de Sylow aquí porque esos parecen aplicarse a grupos con un "desordenado" de la orden que, simplemente,$p^n$. Sería del Teorema de Cauchy me permita generar el requisito de dos subgrupos? Yo podría utilizar para encontrar un elemento de orden $p$ y un elemento de orden $p^{n-1}$, y luego considerar la cíclico subgrupos generados por estos dos elementos?
Respuestas
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Sugerencias:
1) utilizar la fórmula de la clase y deducir que $\,|Z(G)|>1\,$
2) Utilice inducción ahora para demostrar que $\,G\,$ tiene un subgrupo normal de orden $\,p^k\,\,,\,\,\forall\,\,0\le k\le n\,$
Alexander Gruber
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Deje $P$ acto en sí mismo por conjugación. $1$ aparece en una órbita de tamaño $1$, y todo lo demás que aparece en una órbita de tamaño $p^k$ algunos $k$. Ya que la suma de la órbita de los tamaños es igual a $|P|$, lo cual es congruente a $0\mod{p}$, lo que significa que no tiene que ser, al menos, uno de los más órbita de tamaño $1$. Las órbitas de tamaño $1$ bajo la conjugación contienen elementos que conmutan con todo el grupo; de componer $Z(P)$. Ahora supongamos inductivamente que $\exists S\unlhd P$$|S|=p^k$. Entonces, por el lema anterior y del teorema de Cauchy $P/S$ central de los subgrupos $\overline{Q}$ orden $p$. Elevación $\overline{Q}$$P$, lo que obtenemos es un subgrupo normal de orden $p^{k+1}$.
