Sea $(x_k)$ sea una secuencia en $\mathbb Q$ tal que $x_k=\sum\limits_{n=1}^{k}\frac{1}{10^{n^2}}$ para todos $k\geq 1$ .
Se puede ver fácilmente que esta secuencia está acotada y es de Cauchy. Pero, ¿converge en $\mathbb Q$ ? No he podido encontrar ninguna forma de verificarlo. Por favor, ayúdenme.
Nota y recuerdo:
Como sabes la sucesión converge en los reales, la sucesión converge en los racionales si y sólo si su límite es un número racional.
De la forma en que se da la secuencia se obtiene inmediatamente la expansión decimal de su límite.
Un número racional tiene una expansión decimal eventualmente periódica (o finita).
Así que hay que comprobar si el límite cumple esa última propiedad.
Ten en cuenta que una expansión decimal finita es finalmente periódica (con un montón de ceros), así que tu afirmación (o finito) es redundante ;) ¡+1!
Estoy de acuerdo, y por eso lo he puesto entre paréntesis. Pero aun así quería mencionarlo para que no se pase por alto. Posiblemente debería haberlo expresado con más claridad.
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