¿Cómo debo plantear este problema: %#% $ de #% he intentado cuadrar ambos lados pero para deshacerse de los radicales requiere convirtiéndola en una ecuación cuártica, que no sé cómo resolver? ¿Algún consejo? ¡Gracias!
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Farkhod Gaziev
Puntos
6
SUGERENCIA:
Método de$\#1:$
Deje $2y=\arccos x\implies x=\cos2y,\sqrt{1-x^2}=+|\sin2y|$
Como para el real $a,\sqrt a\ge0,$
Utilizando la definición de los valores Principales, $0\le2y\le\pi\implies\sqrt{1-x^2}=+\sin2y$
De nuevo, $0\le2y\le\pi\iff0\le y\le\dfrac\pi2\implies\sin y,\cos y\ge0$
$\implies\sqrt{1-x}=+\sqrt2\sin y,\sqrt{1+x}=+\sqrt2\cos y$
Método de$\#2:$
Deje $x=\cos2y$
$\sqrt{1-x^2}=|\sin2y|$
$1-x=2\sin^2y\implies\sqrt{1-x}=\sqrt2|\sin y|$ y simialrly $\sqrt{1+x}=\sqrt2|\cos y|$
Ahora para el real $a, |a|=+a$ si $a\ge0,$ else $-a$
Caso $\#1:$
$\sin y,\cos y\ge0\implies\sin2y=2\sin y\cos y\ge0$
Caso $\#2:$
$\sin y<0,\cos y<0\implies\sin2y=\cdots>0$
Caso $\#3:$
$\sin y>0,\cos y<0\implies\sin2y=\cdots$
Caso $\#4:$
$\sin y<0,\cos y>0\implies\sin2y=\cdots$
Dr. Sonnhard Graubner
Puntos
14300
Aquí es realmente un buen método: cuando se mira en términos tales como $\sqrt{1-x}$, $\sqrt{1+x}$, y $\sqrt{1-x^2}$, cree que la trigonometría!
Hacer la sustitución trigonométrica: $$x = \cos{\theta}$$
Ahora: $$\sqrt{1-x}=\sqrt{2}\sin{\frac{\theta}{2}}$$ $$\sqrt{1+x}=\sqrt{2}\cos{\frac{\theta}{2}}$$ $$\sqrt{1-x^2}=\sin{\theta}$$
La ecuación de con $\theta$ es entonces:
$$5\left(\sin{\frac{\theta}{2}} + \cos{\frac{\theta}{2}}\right) = 6\cos{\theta} + 8\sin{\theta} $$
Se puede tomar desde aquí?
Edit: Otro truco se utiliza para terminar el problema. Una de las ventajas de sustituciones trigonométricas es que hay muchas identidades a utilizar. En este caso:
$$6\cos{\theta} + 8\sin{\theta} = 10\left(\frac{3}{5}\cos{\theta} + \frac{4}{5}\sin{\theta}\right)$$
Ahora, si dejamos $\phi = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$:
$$6\cos{\theta} + 8\sin{\theta} = 10\left(\sin{\phi}\cos{\theta} + \cos{\phi}\sin{\theta}\right)=10\sin(\phi+\theta)$$
