Supongamos que tengo una función $f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$ , holomorfo en alguna vecindad de un anillo $r\le|z|\le R$ , $r<R$ . Si, por $z\in\{|z|=r\text{ or }|z|=R\}$ , $|f(z)|=C$ para alguna constante C, ¿se deduce que $f(z)$ es una función constante?
Respuestas
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La respuesta es no. Un ejemplo de esta función es el Función Ahlfors que, en el caso del anillo, es un mapeo 2 a 1 del anillo sobre el disco unitario, que se extiende para ser holomorfo en una vecindad del anillo y que mapea cada círculo límite al círculo unitario.
De forma más general, dejemos que $\Omega$ sea un dominio finitamente conectado , cuya frontera está formada por $n$ curvas analíticas de Jordan disjuntas. Entonces existe una función $F$ llamada función de Ahlfors para $\Omega$ que tiene las siguientes propiedades :
- $F$ est un $n$ -a- $1$ mapeo holomórfico de $\Omega$ en el disco de la unidad.
- $F$ se extiende analíticamente a través de cada curva límite de $\Omega$ y mapea cada una de estas curvas homeomórficamente sobre el círculo unitario.
La función de Ahlfors es la solución de un problema extremo que implica una cantidad llamada capacidad de análisis . Cuando $\Omega$ es simplemente conectado, la función de Ahlfors es simplemente el mapa de Riemann. Una buena referencia es el libro "analytic capacity and measure" de Garnett. Véase también "Geometric function theory: explorations in complex analysis", de Krantz, teorema 4.5.9.
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No, no es así. Mira $$f(z)=z+1/z$$
Como $z\rightarrow 0$ la función $|f|$ tiende a $\infty$ , de forma similar cuando $z\rightarrow \infty$ Por otro lado, $|f| |_{S^1}$ está limitada por alguna constante $C$ (por ejemplo $C =2 $ :-)
Elija un valor regular $R$ de $|f|$ más grande que $C=|f| |_{S^1}$ . $f^{-1}(R)$ será un suave $1$ - submanifold dimensional de $\mathbb{C}$ con al menos un componente interior a la bola unitaria y otro al exterior de la bola unitaria. Para ver que (una de) las curvas exteriores a la bola unitaria rodearán realmente la bola unitaria al menos una vez basta con mirar la definición de $f$ que para valores grandes de $|z|$ es sólo una distorsión de $z$ (elegir $R$ más grande si es necesario). El mismo razonamiento muestra que la curva en el interior puede ser elegida para que rodee el origen (es decir, el origen está contenido en el disco limitado por la curva), porque $f$ es básicamente una distorsión de $1/z$ cerca de $z=0$ .
Es decir, puede elegir dos componentes de $f^{-1}(R)$ que forman el límite de un anillo (topológico) $G$ que contiene $S^1$ como una curva homotópica no trivial, en la que $f$ está definida y es holomorfa.
Cualquier anillo topológico es conformemente equivalente a un anillo estándar $A(r) := \{z: 1 < |z| < r\}$ - esto no es trivial, pero es bien conocido. Sea $\phi: A(r) \rightarrow G$ denotan una equilvalencia conforme. Ahora miremos $f\circ\phi$ . Esto es holomorfo y su norma es igual a $R$ en el límite.
(Es cierto que esto no responde completamente a la pregunta, ya que no está claro si $f\circ\phi$ puede extenderse holomórficamente más allá del anillo. Pero es continua hasta el límite, así que creo que es lo suficientemente cerca de una respuesta para al menos enunciar el resultado).
