Suma infinita de series geométricas de una matriz

Question

¿Puede alguien mostrar cómo probar o mostrar dónde encontrar una prueba de la siguiente declaración:

Teniendo en cuenta una matriz, se obtiene una matriz% 1$$T = \begin{pmatrix} t_{11} & 0 & 0 & \dotsm & 0 & 0& \dotsm & 0& 0\\ t_{21} & t_{22} & 0 & \dotsm & 0 & 0& \dotsm & 0 & 0 \\ 0 & t_{32} & t_{33} & \dotsm & 0& 0& \dotsm & 0 & 0 \\ \vdots \\0 & 0 & 0 & \dotsm & t_{i,i-1} & t_{ii} & \dotsm &0&0 \\ \vdots \\0&0&0& \dotsm &0& 0 & \dotsm &t_{m,m-1}&t_{mm} \end{pmatrix}$% #% 0 \ leqslant t_ {ij} \ leqslant 1$ where $ 1 \ 1$ ( for $ 1 \ leqslant m$ (for $ \ sum_ {i = 1} ^ m {t_ {ij}} \ leqslant 1$) and $ j $ Then \begin{equation} \label{trans_mat_geom} (I-T)^{-1} = \sum\limits_{k=0}^{\infty}{T^k}. \end {Ecuación} Gracias de antemano.

Answer 1

Trate de Gantmacher, la Teoría de la Matriz o de Lancaster-Tismenetsky, La teoría de matrices.

Yo no tengo ninguna de las referencias conmigo ahora, así que estoy confiando en mi memoria. Pero, si recuerdo correctamente, el punto de, en pocas palabras, es: si $p(t) = (t-\lambda_1)^{\alpha_1} \dots (t-\lambda_r)^{\alpha_r}$ es el polinomio mínimo de a $A$, a fin de calcular las $f(A)$, para alguna función $f$, usted necesidad justa de $f(\lambda_i), f'(\lambda_i) \dots , f^{(\alpha_i -1)}(\lambda_i)$ a ser definidos para todas las $i= 1, \dots , r$ (esto se llama el espectro de $A$). O, para lo que importa, en el orden de algunos de identidad relativa $A$ a bodega, se debe mantener para el espectro de la $A$. Así que, en su caso, es necesario (y suficiente) el máximo autovalor de a $A$ a menos de $1$.

Answer 2

Basta con comprobar que la serie converge.

Podemos suponer que$S:=T-\lambda$ satisface$S^{k+1}=0$ some$\lambda$ con$|\lambda| < 1$ y algunos$k > 0$. Entonces tenemos $$ T ^ n = (\ lambda S) ^ n = \ sum_ {j = 0} ^ k \ \ binom {n} {j} \ \ lambda ^ {nj} \ S ^ j, $$ Y la convergencia es clara.

Answer 3

Una forma de probar el resultado es notar que (a) siempre podemos encontrar una norma de matriz$\|\cdot\|$ tal que$\|T\|$ está arbitrariamente cerca del radio espectral de$T$. Así que podemos asumir que$\|T\|<1$. (B) Como$\|T\|<1$, la serie infinita$\sum\limits_{k=0}^{\infty}{T^k}$ converge.

Para ambos (a) y (b), véase sec. 5.6 (Matrix Norm) de Horn and Johnson's Matrix Analysis .