¿Cuáles son las probabilidades de un empate al rodar para ver quién va primero en los juegos de mesa para varios números de dados y varios números de jugadores?

Question

Cuando se juega muchos juegos de mesa, el primer paso es tener todo el mundo se lanza un dado para ver quién va primero, con un rollo en el caso de un empate. Mientras que hace que durante las vacaciones de Navidad, mi marido sugirió que rodar dos dados en vez de uno, con la afirmación de que esto haría que los lazos menos probable. Mi hermano estuvo en desacuerdo, alegando que no iba a hacer ninguna diferencia. Estoy interesado en investigar esta cuestión.

He sido capaz de calcular la probabilidad de lazos para el caso de rodar un dado para cualquier número de jugadores, y en el caso de lanzar dos dados con dos jugadores. Sin embargo, realmente no he encontrado una solución general en cualquiera de los casos (que en su mayoría se utiliza una aproximación de fuerza bruta en un dado caso). Es aquí alguien consciente de cualquiera de las fuentes que han investigado esta cuestión?

(Para el registro, estoy bastante seguro de que tanto mi marido y su hermano se han olvidado de la conversación, así que usted no necesita preocuparse acerca de herir los sentimientos de nadie. :) )

Answer 1

Nos fijamos sólo en el caso más simple, donde no hay un solo dado. Pero para hacer las cosas más interesantes, vamos a morir ser $d$cara, con igualdad de probabilidades para los números de $1,2,\dots,d$. Supongamos que hay $m$ jugadores. Encontramos que la probabilidad de que un empate no ocurre.

Se supone que "el número más alto va primero." Así que no hay ningún lazo si por alguna $k\ge 2$, uno de los jugadores lanza un $k$ y todos los demás jugadores hacen rodar los números de $\le k-1$.

Deje que el número de jugadores se $m$. En primer lugar encontramos la probabilidad de que Alicia saca un $k$ y todos los demás rollos de un número $\le k-1$.

La probabilidad de que Alicia saca un $k$$\frac{1}{d}$. La probabilidad de que todos los demás rollos de un número$\le k-1$$\left(\frac{k-1}{d}\right)^{m-1}$. Así que la probabilidad de que ningún lazo, con Alicia ganar, es $$\sum_{k=2}^d \frac{1}{d} \left(\frac{k-1}{d}\right)^{m-1}.$$ Suma de todos los jugadores. La probabilidad de que ningún lazo es $$\frac{m}{d^m}\sum_{k=2}^d (k-1)^{m-1}.$$ La suma restante es bien conocido, con una larga historia. Hay fórmulas sencillas para que en los casos de $m-1=1,2,3$. Para el caso general, por favor consulte Faulhaber la Fórmula.

Comentario: podemos, con un poco de dolor, calcular la probabilidad de que ningún lazo con $3$ jugadores y $2$ dados. Podemos calcular la probabilidad de que no hay ningún lazo y Alicia es el ganador, y multiplicar por $3$.

Alicia puede ser la limpieza ganador en cualquiera de $10$ maneras. Puede lanzar una $3$ y ser el claro ganador, o lanzar una $4$ y ser el claro ganador, o lanzar una $5$ y ser el claro ganador, y así sucesivamente hasta lanzar una $12$ y siendo el claro ganador. Partimos de la computación estas distintas probabilidades.

La probabilidad de que Alicia lanza una $3$$\frac{2}{36}$. La probabilidad de los otros dos lanzar algo $\le 1$$\left(\frac{1}{36}\right)^2$. Se multiplican.

La probabilidad de que Alicia lanza una $4$$\frac{3}{36}$. La probabilidad de los otros dos lanzar algo $\le 3$$\left(\frac{3}{36}\right)^2$. Se multiplican.

La probabilidad de que Alicia lanza una $5$$\frac{4}{36}$. La probabilidad de los otros dos lanzar algo $\le 4$$\left(\frac{6}{36}\right)^2$. Se multiplican.

Y así sucesivamente. Añadir el $10$ términos obtenemos. Incluso se podría extender a $d$caras de los dados y $3$ los jugadores, y obtener una forma cerrada de la fórmula.