¿Cuál es la fórmula para $n^{th}$ derivado de $ \sin^{-1} x, \quad \tan^{-1} x,\quad \sec x \quad \text{and}\quad \tan x$ ?

Question

¿Existen fórmulas para las derivadas enésimas de las siguientes funciones?

$1)\quad$ $sin^{-1} x$

$2)\quad$ $tan^{-1} x$

$3)\quad$ $sec x$

$4)\quad$ $tan x$

Gracias.

Answer 1

Para $\arcsin(x)$ El $n$ -es una función hipergeométrica, véase aquí . En términos de polinomio de Legendre: $$ \frac{\partial ^n\sin ^{-1}(z)}{\partial z^n}=\frac{(-i)^{n-1} (n-1)! }{\left(1-z^2\right)^{n/2}} P_{n-1}\left(\frac{i z}{\sqrt{1-z^2}}\right) $$

Para $\arctan(x)$ , ver aquí . Aquí hay un buen representante: $$ \frac{\partial ^n\tan ^{-1}(z)}{\partial z^n}=\frac{1}{2} \left(i (-1)^n (n-1)!\right) \left((z-i)^{-n}-(z+i)^{-n}\right) $$

Para la tangente, el responder implicaba números Stirling del segundo tipo: $$ \frac{\partial ^n\tan (z)}{\partial z^n}=-i^{n+1} 2^n (i \tan (z)-1+\delta _n) \sum _{k=0}^n \frac{(-1)^k k! }{2^k} \, \mathcal{S}_n^{(k)} \, \left(i \tan (z)+1\right)^k $$

Resultados de $\sec(x)$ se puede encontrar aquí .

Answer 2

A problema relacionado . Véase el capítulo 6 de este libro para las fórmulas de la enésima derivada, $n$ es un número entero no negativo, de $\tan(x)$ y $\sec(x)$ en términos de $\psi$ función

\begin{equation} {\tan}^{(n)} (z) = \frac{1}{{\pi}^{n+1}} \left({\psi}^{(n)} \left( \frac{1}{2}+\frac{z}{\pi}\right) + (-1)^{n+1} {\psi}^{(n)} \left( \frac{1}{2}-\frac{z}{\pi}\right) \right)\,, \end{equation}

\begin{align}\nonumber {\sec}^{(n)}(z) = \frac{1}{ (2 \pi)^{ n + 1 } } &\left( (-1)^{n}{\psi}^{(n)}\left( -\frac{2z-3\pi}{4\pi}\right) - (-1)^{n}{\psi}^{(n)}\left( -\frac{2z-\pi}{4\pi}\right) \right.& \\ \nonumber & \left. - {\psi}^{(n)}\left( \frac{2z+\pi}{4\pi}\right) + {\psi}^{(n)}\left( \frac{2z+3\pi}{4\pi}\right) \right) \,. & \end{align}