¿Por qué podemos convertir una base $9$ número a una base $3$ número simplemente convirtiendo cada base $9$ dígito en dos bases $3$ ¿dígitos?
Por ejemplo $813_9$ se puede convertir directamente en base $3$ al observar
\begin {array} \space 8_9&=22_3 \\ \space 1_9 &=01_3 \\ \space 3_9 &=10_3 \\ \end {array}
Juntando los dígitos de la base, obtenemos $$813_9=220110_3$$
Sé que tiene que ver con el hecho de que $9=3^2$ pero no soy capaz de entender todo esto por este simple hecho...
Considere $N$ en base 3. Para simplificar, podemos suponer que $N_3$ tiene un número par de dígitos: si no es así, basta con añadir un $0$ . Así que déjalo: $$N_3 = t_{2n+1} t_{2n}\dotsc t_{2k+1} t_{2k} \dotsc t_1 t_0. $$ Lo que realmente significa esta notación posicional es que: $$ N = \sum_{i = 0}^{2n+1} t_i 3^i, $$ que podemos reescribir como $$\begin{align} N &= \sum_{k = 0}^{n} (t_{2k+1} 3^{2k+1} + t_{2k} 3^{2k}) \\ &= \sum_{k = 0}^{n} (3 t_{2k+1} + t_{2k}) 3^{2k} \\ &= \sum_{k = 0}^{n} (3 t_{2k+1} + t_{2k}) 9^{k}. \\ \end{align}$$
Pero ahora, observe que para cada $k$ , $3 t_{2k+1} + t_{2k}$ es precisamente el dígito de base 9 correspondiente al par consecutivo de dígitos de base 3 $t_{2k+1} t_{2k}$ .
Esto tiene más que ver con el valor posicional.
Considera la imagen:
La clave es el hecho de que $3^2 = 9$
Todo el valor de abajo $3^2$ ( $3^0 $ y $ 3^1 $ ) tiene que ser acomodado en $9^0$
es decir
todos los valores en $9^0$ tienen que ser acomodados en los dos lugares siguientes $3^2$ ( $3^0 $ y $ 3^1 $ )
Lo mismo ocurre con cualquier otro lugar.
En general para la conversión de un número $N$ en cualquier base $k$ a la base $k^n$ cada dígito de $N_{k^n}$ se convierten en n dígitos de $N_k$
No estoy seguro de si pides una prueba o una intuición. La prueba es bastante mecánica, así que explicaré por qué se puede esperar que esto sea cierto.
Poniendo tu sombrero de la teoría de la información, dos dígitos de base 3 llevan exactamente tanta información como un dígito de base 9. Es decir, supongamos que sabes que te voy a pasar dos dígitos, cada uno de 0,1 y 2. Entonces sabes que hay $3 \cdot 3 =9$ posibilidades para la información que podría pasar.
Por otro lado, si le paso un solo dígito de 0,1,...,8, entonces hay de nuevo 9 posibilidades.
Continuando de esta manera, $n$ dígitos de base 9 pasan tanta información como $2n$ dígitos de base 3.
Esto no es exactamente una prueba todavía. Tendrías que demostrar que no te saltas ningún valor. Tal vez al hacer el cálculo que describes nunca se pueda devolver el valor $102_3$ . Afortunadamente puede. Pero habría que pensar por qué esto siempre va a funcionar.
Veamos en qué se basa $9$ número significa realmente. $$813_9=8\cdot 9^2+1\cdot 9^1+3\cdot 9^0$$ Si queremos escribir esto como potencias de $3$ con coeficientes entre $0$ y $2$ podemos hacer simplemente \begin {align} 3 \cdot 9^0&=1 \cdot 3^1+0 \cdot 3^0 \\ 1 \cdot 9^1&=0 \cdot 3^3+1 \cdot 3^2 \\ 8 \cdot 9^2&=2 \cdot 3^5+2 \cdot 3^4 \\ \end {align}
¿Por qué podemos hacer esto?
¿Por qué podemos escribir $$a_n\cdot 9^n=b_{2n+1}\cdot 3^{2n+1}+b_{2n}\cdot3^{2n}$$ En primer lugar, hay que tener en cuenta que $9^n3^2n$ por lo que al dividir la ecuación por eso, obtenemos $$\frac{a_n\cdot 9^n}{3^{2n}}=a_n=3b_{2n+1}+b_{2n}=\frac{b_{2n+1}\cdot 3^{2n+1}+b_{2n}\cdot3^{2n}}{3^2n}$$ Así que en realidad, el problema se reduce a escribir un número $0\leq a_n<9$ como $3b_{2n+1}+b_{2n}$ , donde $0\leq b_{2n},b{2n+1}<3$ . Esto es obviamente posible.
¿Por qué esto funciona para el binario y el hexadecimal?
En realidad, la respuesta es bastante similar. El problema se puede reducir de forma equivalente, dando como resultado la ecuación $$a_n=8a_{4n+3}+4a_{4n+2}+2a_{4n+1}+a_{4n}$$ Dónde $0\leq a_n<16$ y $0\leq a_{2n+3},a_{2n+2},a_{2n+1},a_{2n}<2$ . La solvencia de esta ecuación es, en mi opinión, un poco menos obvia, pero sigue siendo bastante comprensible; pero, en aras de una comprensión más profunda, podríamos ver la conversión hexadecimal-octagonal. Esto se reduce a la fácil ecuación $a_n=2b_{2n+1}+b_{2n}$ , donde $0\leq a_n<16$ y $0\leq b_{2n+1},b_{2n}<8$ . Esto es claramente solucionable. Haciendo esto para la conversión octogonal-base 4 y para la conversión base 4-binaria, se demuestra con un enfoque similar al de la recurrencia que esto efectivamente funciona para la conversión hexadecimal-binaria.
Espero que esto haya servido de ayuda.
Sugerencia :
$$\color{blue}1\cdot3^5+\color{blue}0\cdot3^4+\color{green}2\cdot3^3+\color{green}2\cdot3^2+\color{red}0\cdot3^1+\color{red}1\cdot3^0 =(\color{blue}1\cdot3^1+\color{blue}0)3^4+(\color{green}2\cdot3^1+\color{green}2)3^2+(\color{red}0\cdot3^1+\color{red}1)3^0\\ =\color{blue}3\cdot9^2+\color{green}8\cdot9^1+\color{red}1\cdot9^0$$
$$\color{blue}{10}\color{green}{22}\color{red}{01}_3=[\color{blue}{10_3}|\color{green}{22_3}|\color{red}{01_3}]_9=\color{blue}3\color{green}8\color{red}1_9$$
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