Si $X$ es un conjunto compacto, ¿cuándo $f'(0)$ ¿Existen?

Question

Sea $X$ sea un conjunto compacto en $\mathbb R$ y para $t\geq 0$ defina $f(t)$ como $$f(t) = m(\{x\in \mathbb R| \exists y \in X : |x-y| \leq t\})$$ ¿En qué condiciones para $X$ hace $f'(0)$ ¿Existen? ( $m$ es la medida de Lebesgue)

Si $X$ es finito, entonces $f'(0)$ existe. Además, si $X$ contiene un intervalo, f'(0) no existe. También demostré que si $X=\{\frac{1}{2^n}, n\in \mathbb N\} \cup \{0\}$ entonces $f'(0)$ no existe. Si estoy en lo cierto, esto me parece muy extraño, porque $X$ tiene medida $0$ y yo pensaría que para que la derivada en cero exista, el nominador $f(t)-f(0) = f(t)-m(X)$ tiene que ir a $0$ más rápido que el denominador $t$ y la forma más rápida de que esto ocurra sería si $X$ tenía medida $0$ de modo que $f$ no "mide" muchos puntos.

Así que ahora estoy perdido y no puedo encontrar qué otras propiedades $X$ debe tener. ¡Gracias por cualquier ayuda y espero ser lo suficientemente claro en mi explicación!

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ACTUALIZACIÓN : Con la ayuda de los comentarios de Niels Diepeveen, he conseguido trabajar un poco en esto, pero todavía estoy atascado en un punto. Mi trabajo:

Sea $\cal{C}$ sea el conjunto de las componentes conexas de $X$ . La afirmación es que $f'(0)$ existe si y sólo si $\cal{C}$ es finito.

$(\Leftarrow$ ) Si $\cal{C}$ es finito, entonces $\cal{C}$ $= \{X_1, X_2,..., X_k\}$ . Cada $X_i$ es cerrado y son disjuntos por pares, por lo que existe un $t_0$ tal que $$\forall x \text{ with } d(x,X_i) \leq t_0 \Rightarrow d(x, X_j) > t_o, \forall j \neq i$$ Además $X_i$ es medible como un conjunto cerrado y acotado. Por lo tanto, para $t \leq t_o$ , $f(t) = \sum_{i=1}^{k} m(X_i) + 2kt$ lo que significa que $f'(0) = 2k$ .

$(\Rightarrow)$ Supongamos que $f'(0)$ existe pero $\cal{C}$ es infinita. Sea $M$ se dará. Entonces hay un $k \in \mathbb{N}$ tal que $2k>M$ . Entonces, como antes, encontramos un $t_0$ para $k$ de los conjuntos en $\cal{C}$ que sean $\{X_1,...X_k\}$ tal que $$\forall x \text{ with } d(x,X_i) \leq t_0 \Rightarrow d(x, X_j) > t_o, \forall j \neq i, i,j \in \{0,...,k\}$$ Ahora el problema es, que si tomo $t \leq t_o$ Me gustaría tener $$\frac{f(t)-f(0)}{t-0} \geq \frac{f(t_0) - m(X)}{t_0} \geq \frac{m(X) + 2kt_0 -m(X)}{t_0} = 2k > M$$ y entonces el problema estaría resuelto. Pero no veo cómo demostrar esa primera desigualdad (las otras son fáciles). En realidad significa que la función $\frac{f(t)}{t}$ está decayendo, lo que me parece lógico, pero no puedo probarlo.

Answer 1

Para todo conjunto compacto $X\in\mathbb R$ defina $$d(X)=\liminf_{t\to 0^+}\, t^{-1}\left( m(\{x\in \mathbb R \, |\, \exists y \in X : |x-y| \leq t\})-m(X)\right)$$ (esta cantidad siempre está definida, aunque puede ser $+\infty$ ). Entonces

1. $d(X)\ge 2$ para cada $X$ porque se obtienen dos intervalos de longitud $t$ junto a $\min X$ y $\max X$ .
2. $d(X\cup Y)\ge d(X)+d(Y)$ cuando $X$ y $Y$ son disjuntos. En efecto, cuando $2t<\operatorname{dist}(X,Y)$ El $t$ -son disjuntos. Así que las medidas se suman, y $\liminf $ de una suma es al menos la suma de $\liminf$ s.

Supongamos ahora que $X$ tiene infinitas componentes conectadas. Como no está conectada, hay $a\in \mathbb R\setminus X$ tal que $\min X<a<\max X$ . Los conjuntos $X_1=X\cap (-\infty,a]$ y $X_2=X\cap [a,\infty)$ son no vacías y compactas. Por 2, $d(X)\ge d(X_1)+d(X_2)$ . Pero al menos uno de $X_1$ y $X_2$ tiene infinitos componentes, digamos $X_1$ . Así que.., $d(X_1)\ge d(X_{11})+d(X_{12})$ y esto puede continuar indefinidamente. Por lo tanto, $d(X)=\infty$ .

Answer 2

La siguiente sugerencia debería ser un comentario, pero creo que es mejor utilizar todo el espacio aquí.

Defina $X_{\delta}=\cup_{x\in X}B(x,\delta)$ ya que $X$ está acotada, entonces $X_{\delta}$ tiene finitamente muchos componentes; complete los detalles. Para $X_{\delta}$ defina $f_{\delta}$ como lo hizo para $f$ . Tenga en cuenta que $f_{\delta}(t)=f(t+\delta)$ y $f(0)\le f_{\delta}(0)$ Por lo tanto

$$ \frac{f(t)-f(0)}{t}\ge\frac{f_{\delta}(t-\delta)-f_{\delta}(0)}{t-\delta}\frac{t-\delta}{t}, $$

la derivada $f_{\delta}'(0)$ debe tender al número de componentes ( $\infty$ ) y $(f_{\delta}(t)-f_{\delta}(0))/t=f_{\delta}'(0)$ para $t\le\epsilon_\delta$ . De alguna manera, usted puede ser capaz de demostrar que existe una secuencia $r_n\to 0$ tal que $\epsilon_{r_n}=r_n$ Con esto concluye el problema.

Sinceramente, no estoy contento con mis consejos, espero que haya algo mucho mejor por ahí.