No estoy realmente al día en el estado actual de$\zeta (3)$, pero estaba jugando el otro día con la serie de Fourier y encontré que$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n-1)^3} = \frac{\pi^3}{32}.$ $ ¿Es esto de interés para cualquiera?
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user21783
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Esta es una (no estándar) de Dirichlet función beta $\beta(3)$ usando la definición : $$\tag{1}\beta(s):=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^s}$$ Para impar positivo parámetros de $\,s=2k+1\;$ puede ser escrito utilizando los números de Euler como : $$\tag{2}\beta(2k+1)=\frac{(-1)^k\,E_{2k}\;\pi^{2k+1}}{4^{k+1}\,(2k)!)}$$ mientras que para $n<0$ $$\tag{3}\beta(n)=\frac{E_{-n}}2$$ Los números de Euler $E_{2k}$ podría ser definida por la expansión : $$\tag{4}\frac 1{\cosh(t)}=\sum_{k=0}^\infty \frac {E_{2k}}{(2k)!}t^{2k}=1-\frac 1{2!} t^2+\frac5{4!}t^4-\frac{61}{6!}t^6+\frac{277}{8!}t^8-\cdots$$ Un paralelo puede ser hecho con la expansión de dar los números de Bernoulli : $$\tag{5}\frac t{e^t-1}=\sum_{k=0}^\infty \frac {B_n}{n!}t^n=1-\frac 12 \frac t{1!}+ \frac 16\frac{t^2}{2!}-\frac 1{30}\frac {t^4}{4!}+\frac 1{42}\frac{t^6}{6!}-\frac 1{30}\frac{t^8}{8!}+\cdots$$
la función lambda (o directamente zeta) ( $\Re(s)>1$ ) : $$\tag{6}\lambda(s):=\sum_{n=0}^\infty \frac 1{(2n+1)^s}=\left(1-2^{-s}\right)\,\zeta(s)$$
y la fórmula clásica : $$\zeta(2k)=\frac{(2\pi)^{2k}}{2\,(2k)!}|B_{2k}|$$
En resumen $\beta(m)$ volverá valores simples proporcional a $\pi^m$ para valores impares de $m$ mientras $\lambda(m)$ $\zeta(m)$ hará que incluso los valores de $m$. Más "complicada" valores obtenidos para $m$ incluso para $\beta$ (catalán constante y así sucesivamente) en el primer caso y $m$ extraño $\lambda$$\zeta$.
Desde el punto de vista de Fourier expansiones $(23.1.16)$ debe mostrar claramente las relaciones entre la simple serie de Fourier y la de Bernoulli y Euler polinomios. Un paralelo entre sus propiedades se da en Abramowitz y Stegun con otros datos interesantes.
Mediante la integración compleja (como aquí) vamos a reescribir $(4)$ y obtener la fórmula $(2)$ : $$\tag{7}\frac 1{\cosh(t)}=\int_0^\infty \frac {\cos(t\,x)}{\cosh(\pi\,x/2)}\;dx$$ así que $$\tag{8}E_{2k}=\left.\left(\frac d{dt}\right)^{2k}\right|_{t=0}\frac 1{\cosh(t)}=(-1)^k\int_0^\infty \frac {x^{2k}}{\cosh(\pi\,x/2)}\;dx$$ Vamos a utilizar esta integral para derivar $(2)$ : \begin{align} \int_0^\infty \frac{t^m}{2\,\cosh(t)}dt&=\int_0^\infty \frac{t^m\;e^{-t}}{1+e^{-2t}}dt\\ &=\int_0^\infty \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\;t^m\;e^{-(2k+1)t}\;dt\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac {(-1)^k}{(2k+1)^m}\int_0^\infty u^m\;e^{-u}\frac{du}{2k+1}\;\\ &=\Gamma(m+1)\sum_{k=0}^\infty\frac {(-1)^k}{(2k+1)^{m+1}}\\ &=\Gamma(m+1)\,\beta(m+1)\\ \end{align} que permite reescribir $(6)$ (ajuste $m:=2k,\;t:=\pi\,x/2$) : $$\tag{9}E_{2k}= 2\left(\frac 2{\pi}\right)^{2k+1}(-1)^k\;(2k)! \,\beta(2k+1)$$ y demostrando $(2)$.
riza
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Se ha descubierto $L(3,\chi)$ donde $L(s,\chi)$ es la de Dirichlet $L$-función y $\chi$ es la única que no sea trivial carácter mod $4$. La Riemann zeta función y esta $L$-función están relacionados por la factorización de la Dedekind zeta función de la Gaussiana cuadrática campo ${\Bbb Q}(i)$,
$$L_{{\Bbb Q}(i)/{\Bbb Q}}(s)=\sum_{I\triangleleft{\Bbb Z}[i]}\frac{1}{N(I)^s}=\prod_{\frak p}(1-N{\frak p}^{-s})^{-1}=\prod_p(1-p^{-s})^{-1}(1-\chi(p)p^{-s})^{-1}=\zeta(s)L(s,\chi).$$
Por desgracia, a sabiendas de $L(3,\chi)$ no nos dice nada acerca de la $\zeta(3)$ en términos de cerrado de formas. Se espera que el $\zeta(3)$ no comparte las relaciones con los otros $\zeta(2n+1)$s o $\pi$, no solo por falta de razones teóricas, sino por sólidas razones teóricas para el contrario (la geometría del período integrales y mixto Tate motivos, ver a Matt E responde aquí); hay una buena razón para esperar de extrañar relaciones algebraicas entre Apery constante o de otros extraños valores zeta y $\pi$.
