Intuición para la ecuación de continuidad

Question

Supongamos, por ejemplo, que tenemos una ecuación,

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\nabla \cdot\vec J$$

que podemos aplicar para mostrar la conservación de la carga eléctrica. ¿Cómo podemos interpretar esto intuitivamente?

Answer 1

La intuición es bastante sencillo con el uso de cálculo vectorial teoremas. Supongamos que tenemos una conserva de corriente $j^\mu = (\rho, \vec j)$ con la ecuación de continuidad,

$$\partial_\mu j^\mu = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec j = 0.$$

Veamos ahora la definición de una conserva de carga,

$$Q = \int_{\mathbb R^3} d^3x \, j^0 = \int_{\mathbb R^3} d^3x \, \rho.$$

Si se conserva, entonces esperamos su vez derivado a desaparecer. Comprobaremos que esta por tomar el tiempo de derivados y utilizando la ecuación de continuidad:

$$\frac{\partial Q}{\partial t} = \int_{\mathbb R^3} d^3x \, \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \int_{\mathbb R^3} d^3x \, \nabla \cdot \vec j = 0.$$

Esto es siempre que $\vec j$ se desvanece lo suficientemente rápido como $|\vec x| \to 0$. La ecuación de continuidad implica una fuerte declaración, es decir, que $Q$ sólo puede cambiar si hay algún flujo, ya que

$$\frac{\partial Q_V}{\partial t} = \int_V d^3x \, \frac{\partial \rho}{\partial t} = -\int_V d^3x \, \nabla \cdot \vec j = - \int_S \vec j \cdot dS$$

utilizando el teorema de la divergencia para relacionar la superficie (flujo) integral a la integral de la divergencia del vector sobre el volumen delimitado.

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Respuesta a comentario

Si $\nabla \cdot \vec j > 0$, lo que implica que el flujo en un punto es hacia el exterior, ya que por el teorema de la divergencia, podemos interpretar $\nabla \cdot \vec j$ mientras que el volumen de densidad de flujo, para una infinitesimal de volumen alrededor de un punto.

El hecho de que $\dot \rho$ $\nabla \cdot \vec j$ tienen signos opuestos en la ecuación de continuidad es para asegurar que si $Q$ disminuye, entonces el flujo es de hecho negativo indicando cargo escapar el volumen, en lugar de entrar en él.

Answer 2

Lo primero que debemos destacar acerca de esta ecuación para obtener la intuición (en mi opinión, por supuesto) es que es una ecuación diferencial. Podemos reescribir la densidad de flujo para mostrar esto: $$\vec{J}=\rho \vec{v}$$ donde $v$ es la media de la velocidad de los portadores de carga (por ejemplo, electrones).

Por lo tanto, la ecuación se convierte en: $$\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\vec{\nabla}\cdot (\rho\vec{v}) $$

Escribir la ecuación de esta manera, vemos que la solución es la función: $\rho(\vec{r})$.
En otras palabras, la ecuación que describe la física limita a la distribución de carga (como una función de la $\vec{r}$.)

La segunda cosa que debemos señalar, es que la ecuación no es una ODA, pero un PDE: hay una relación entre el tiempo de derivados y el espacio de derivados. En otras palabras, con el fin de cambiar la distribución de carga en el tiempo (LHS), debe crear un actual: el cambio de la distribución de carga sólo es posible mediante el desplazamiento de los cargos, a una cierta velocidad, que es exactamente la definición de la corriente. El actual (o densidad de flujo) es descrito por el lado derecho.

En conclusión, la ecuación es una ecuación diferencial, es decir, estamos buscando para la función que describe la distribución de carga a la vez que satisface las siguientes limitaciones físicas: un cambio en la densidad de carga debe resultar en un cargo de flujo.

Answer 3

La ecuación básicamente dice que la carga no se destruye o creado. Para mostrar esto, considere la posibilidad de un campo de cargos que se mueven sólo en la dirección x con velocidad de $u(x)$. Ahora consideremos un cubo pequeño con dimensiones $\Delta x$, $\Delta y$ y $\Delta z$ en la x, y y z las direcciones. Una sección transversal se muestra en el diagrama de abajo. Cada segundo un volumen de $u(x)\cdot \Delta y\Delta z$ pasa a través de los bordes de la izquierda (como se muestra en la $\color{green}{\text{green}}$); dado que el volumen recorre una distancia de $u(x)$ cada segundo no será más que suficiente para mover completamente dentro de los límites. Esto significa que cada segundo una cantidad de carga igual a $u(x)\rho(x)\ \Delta y\Delta z$ entra en el cubo a través de los bordes de la izquierda. Veces la velocidad de la densidad de carga es la corriente por lo que este se convierte en $J(x) \Delta y\Delta z$.

Al mismo tiempo, una cantidad de $J(x+\Delta x)\ \Delta y\Delta z$ es dejar el cubo en la frontera derecha (como se muestra en la $\color{red}{\text{red}}$). Por lo que el cambio en la carga por segundo de el cubo se convierte en $\frac{\partial q}{\partial t}=\Delta y\Delta z\ (J(x)-J(x+\Delta x))$. Si tomamos el cubo infinitesimalmente pequeño llegamos $$J(x)-J(x+\Delta x)=-\frac{J(x+\Delta x)-J(x)}{\Delta x}\cdot \Delta x\rightarrow-\frac{\partial J}{\partial x}\Delta x$$ La contramarcha que en y con que $q=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$: \begin{align}\frac{\partial(\rho \Delta x\Delta y\Delta z)}{\partial t}&=-\Delta x\Delta y\Delta z\ \frac{\partial J}{\partial x} \\\frac{\partial\rho}{\partial t}&=-\frac{\partial J}{\partial x}\end{align} Por ahora, permitiendo que las otras direcciones que han de velocidad, puede ser comprobada mediante razonamiento similar que $$\frac{\partial\rho}{\partial t}=-\nabla \cdot\vec J$$

Este diagrama da ahora la intuición de la divergencia: la divergencia en este caso es positivo, ya que $\frac{\partial J}{\partial x} > 0$. Así que una divergencia positiva significa que la carga es dejar el cubo, lo que significa que localmente la densidad de carga es bajándolo.