Resolver $\sin(5\theta)=1$, $0<\theta<2\pi$. Muestran que las raíces de $16x^4+16x^3-4x^2-4x+1=0$ $x=\sin{\frac{(4r+1)\pi}{10}}$, $r=0,2,3,4$.

Question

Este es un problema interesante que me encontré. Sé que tiene algo que ver con la trigonometría identidades, polinomios y números complejos, pero aparte de eso, no estoy muy seguro de cómo acercarse a este. Cualquier guía de sugerencias o ayuda sería muy apreciada. Gracias de antemano. Aquí está el problema:

Resolver la ecuación de $\sin(5\theta)=1$ $0<\theta<2\pi$ y, por tanto, mostrar que las raíces de la ecuación de $16x^4+16x^3-4x^2-4x+1=0$$x=\sin{\frac{(4r+1)\pi}{10}}$, donde de $r=0,2,3,4$. Determinar el valor exacto de $\sin\frac\pi{10}\sin\frac{3\pi}{10}$.

Puede ser útil para encontrar $\sin(5\theta)$ en términos de $sin^n \theta$ y así sucesivamente.

Answer 1

Utilizar $$\sin5\theta=\sin{x}\cos4\theta+\cos{x}\sin4\theta=\sin{\theta}(2\cos^22\theta-1)+4\cos^2\theta\cos2x\sin{\theta}=$ $ $$=\sin{\theta}(2\cos^22\theta-1+2(1+\cos2\theta)\cos2\theta))=\sin{\theta}(4\cos^22\theta+2\cos2\theta-1)$ $ y $16x^4+16x^3-4x^2-4x+1=(4x^2+2x-1)^2$

Answer 2

Creo que de la ecuación

$1=\sin 5\theta$

$=\sin3\theta cos2\theta+\cos3\theta sin2\theta$

$=(3\sin\theta-4\sin^3\theta)(1-2\sin^2\theta)+(4\cos^3\theta-3\cos\theta) 2\sin\theta \cos\theta$

$=(3\sin\theta-4\sin^3\theta)(1-2\sin^2\theta)+(4\cos^2\theta-3) 2\sin\theta (1-\sin^2\theta)$

$=(3\sin\theta-4\sin^3\theta)(1-2\sin^2\theta)+(1-4\sin^2\theta) 2\sin\theta (1-\sin^2\theta)$

¿Lo puede tomar desde aquí?

¿Qué ecuación obtengo al cancelar uno de los dos lados?

Answer 3

Para $\sin 5\theta = 1$ y $\theta \in(0,2\pi)$, $\theta = \dfrac\pi{10}, \dfrac\pi2, \dfrac{9\pi}{10}, \dfrac{13\pi}{10}, \dfrac{17\pi}{10}.$

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Para encontrar $\sin 5x$ en términos de $\sin x$, considere la posibilidad de $\cos 5x + i\sin 5x$:

$$\begin{align*} \cos 5x + i\sin 5x &= (\cos x + i\sin x)^5\\ i\sin 5x&= 5i\cos^4x\sin x + 10i^3 \cos^2x\sin^3 x + i^5\sin ^5x\\ \sin 5x &= 5\cos^4 x \sin x - 10\cos^2x\sin^3x + \sin^5x\\ &= 5(1-\sin^2x)^2\sin x - 10(1-\sin^2x)\sin^3x + \sin ^5 x\\ &=5(1-2\sin^2x+\sin^4x)\sin x- 10(1-\sin^2x)\sin^3x + \sin^5 x\\ &= 16\sin^5 x -20\sin^3x+5\sin x \end{align*}$$

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Como el cinco $\theta$ valores por encima de satisfacer $\sin 5\theta = 1$, que también satisfacer $16\sin^5 \theta -20\sin^3\theta+5\sin \theta = 1$, y así los cinco $x = \sin \frac{(4r+1)\pi}{10}, r=0,1,2,3,4$ son raíces de

$$\begin{align*} 16x^5-20x^3+5x &= 1\\ 16x^5-20x^3+5x -1 &= 0 \end{align*}$$

Tomando el factor de $(x-1)$ o $\left(x-\sin \frac{\pi}{2}\right)$ a partir de la ecuación,

$$(x-1)(16x^4+16x^3-4x^2-4x+1) = 0$$

Y por lo $x = \sin \frac{(4r+1)\pi}{10}, r=0,2,3,4$ satisfacer

$$16x^4+16x^3-4x^2-4x+1 = 0$$

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$$\begin{align*} \sin\frac{9\pi}{10} &= \sin \frac\pi{10}\\ \sin\frac{13\pi}{10} &= -\sin \frac{3\pi}{10}\\ \sin\frac{17\pi}{10} &= -\sin \frac{3\pi}{10}\\ \end{align*}$$

Por Vieta de fórmulas,

$$\begin{align*} \sin\frac{\pi}{10}\sin\frac{9\pi}{10}\sin\frac{13\pi}{10}\sin\frac{17\pi}{10} &= \frac1{16}\\ \sin\frac{\pi}{10}\sin\frac{\pi}{10}\left(-\sin \frac{3\pi}{10}\right)\left(-\sin \frac{3\pi}{10}\right) &= \frac1{16}\\ \sin \frac{\pi}{10}\sin \frac{3\pi}{10}&= \underline{\underline{\frac14}} \end{align*}$$

(la raíz cuadrada positiva)

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Hay algo que la izquierda no probados: si $\sin \frac{\pi}{10}$ $-\sin \frac{3\pi}{10}$ son realmente tanto el doble de raíces. Esto puede ser confirmado por la $(4x^2+2x−1)^2$ factorización por @dxiv arriba.