Necesito encontrar una matriz de 3 x 3 y el factor determinante de esta matriz debe ser 0. ¿También necesitará ser capaz de eliminar iMacs elegido columna y fila para hacer el determinante distinto de cero? ¿Es posible? Gracias.
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Arnaud D.
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$$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{pmatrix}$$works bien:
- las columnas están en progresión aritmética, que significa que la columna media es la media aritmética de la columna extremada, y en consecuencia no son independientes.
- para cualquier submatriz de $2\times 2$, la diferencia de las columnas es un múltiplo de $\left(\begin{smallmatrix}1\\ 1 \end{smallmatrix}\right)$, pero ninguna de la columna es, por lo que las columnas deben generar un espacio de dimensión $2$, por lo tanto, son linealmente independientes.
user30382
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48
$$\begin{pmatrix}1&1&-2\\1&-2&1\\-2&1&1\end{pmatrix}$$
Esta matriz corresponde a una lineal mapa que los mapas de la norma vectores de la base a los vectores columna de la matriz. La eliminación de una fila corresponde a la restricción de la lineal mapa a la $xy$-, $xz$- o $yz$-plano. La eliminación de una columna corresponde a la composición lineal mapa con la proyección de la $xy$-, $xz$- o $yz$-plano. Por lo que es necesario y suficiente que no hay dos vectores columna de proyecto para el mismo vector en cualquiera de las tres proyecciones. Equivalentemente, cada par de vectores columna deben diferir en al menos dos coordenadas.
Para la matriz a tiene determinante cero el vector columna debe estar en un plano común. Por encima de cada uno de los tres proyecciones, restringido a este plano, debe ser inyectiva, por lo que el plano debe ser dada por una ecuación de $ax+by+cz=0$$abc\neq0$.
Entonces es geométricamente claro que cualquier avión y tres pares de vectores no paralelos prueban en lo que será suficiente como vectores columna. Elegí el avión $x+y+z=0$ y tres obvio vectores.
Geométricamente tales matrices corresponden bijectively, hasta múltiplos escalares, a los triples de distintos puntos colineales en el plano proyectivo, cuyo común de la línea de no pase a través de $(1:0:0)$, $(0:1:0)$ y $(0:0:1)$.
Amin235
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308
Escribí un procedimiento simple en madera de Arce que genera este tipo de matriz:
restart: with(combinat): with(LinearAlgebra):
Checkmatrix:=proc(a,b)
local u,t,B,P,i,j,F;
u:=1:
while u=1 do
t:=1:
B := RandomMatrix(3, 3, generator = a .. b)
if Determinant(B)=0 then
P := choose(3, 2)
for i from 1 to nops(P) do
for j from 1 to nops(P) do
F := B(P[i], P[j])
if Determinant(F)=0 then
t:=0: i:=nops(P)+1:j:=nops(P)+1: end if;
end do: end do:
if t = 1 then print(B); u := 0 end if
unassign('B, F, i, j, P')
end if:
end do:
end proc:
En el procedimiento Checkmatrix los valores de $a$ $b$ mínimo y el máximo número de la matriz. Por ejemplo: $$ Checkmatrix(-1, 1)= \left( \begin {array}{ccc} 1&-1&0\\ -1&0&-1 \\ 0&-1&-1\end {array} \right) $$ Una de las formas de este tipo de matriz es la siguiente: $$ A=\left( \begin {array}{ccc} n+2&n+1&n\\ n&n&n \\ n&n+1&n+2\end {array} \right) $$ donde $n$ es un números naturales. Podemos comprobar que el determinante de a $A$ es cero y determinante de todas las sub-matriz de $A$ es una función lineal basado en el $n$ como $n,2n,2n+2,4n+4$. Por ejemplo: $$ A= \left( \begin {array}{ccc} 3&2&1\\1&1&1 \\ 1&2&3\end {array} \right) $$
staircase27
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11
Sus necesidades pueden ser, equivalentemente, se describe como querer una matriz de 3x3 con un factor determinante de la $0$, y para el que todos los elementos de los menores de la matriz es distinto de cero. Para esta respuesta de cada elemento, en el menor de la matriz es el determinante de la matriz original con esa fila y columna quitado. es decir, el elemento de menor importancia de la matriz en la fila $i$ y la columna $j$ es el determinante de la matriz original con la fila $i$ y la columna $j$ eliminado. (Hay otras convenciones que se usan en otros lugares).
Por la construcción de una matriz general, a continuación, la solución de las condiciones que se derivan de una condición general para la matriz a obedecer. He encontrado que el menor de la matriz tenía 5 elementos independientes. Estos podrían ser tomado a cualquier conjunto de elementos tales que existe al menos un elemento de cada fila y de cada columna. El resto de los 4 elementos son dependientes de los otros 5, a través de muy fórmulas simples.
Elegí los elementos independientes a la primera fila y la primera columna de la matriz tiene la forma $$\begin{pmatrix}A & B & C\\D&\dfrac{B D}{A} & \dfrac{C D}{A}\\G &\dfrac{B G}{A}&\dfrac{C G}{A}\end{pmatrix}$$
Este formulario debe siempre obedecer a los requisitos que son todos los no-cero mientras los elementos independientes son explícitamente elegido para ser distinto de cero como la continuación de las fracciones no puede ser infinito, indeterminado o cero.
Ahora la matriz original debe ser calculado que da este formulario. Esta matriz fue encontrado para tener 3 más elementos independientes. El uso de una opción de independiente veriables la matriz está dada por $$\begin{pmatrix}\dfrac{A b d+C G}{A e}& b& \dfrac{b B}{C}-\dfrac{A b d+C G}{C e}\\ d& e& \dfrac{B e-A d}{C}\\ \dfrac{d D}{G}-\dfrac{A b d+C G}{e G}& \dfrac{D e-A b}{G}& \dfrac{A (A b d +C G)}{C e G}+\dfrac{B D e}{C G}-\dfrac{A (b B+d D)}{C G}\end{pmatrix}$$
Es claro que esta fórmula se bifurca al $e$ $0$ si $Abd+CG$$0$. Para este caso, la matriz puede ser encontrado mediante la sustitución de uno de los $b$ o $d$ (yo elegí usar $b$) y, a continuación, tomar el límite de$e\to 0$, lo que da $$\begin{pmatrix}a& -\dfrac{C G}{A d}& -\dfrac{a A}{C}-\dfrac{B G}{A d}\\ d& 0& -\dfrac{A d}{C}\\ -\dfrac{a A}{G}+\dfrac{d D}{G}& \frac{C}{d}& \dfrac{a A^2}{C G}-\dfrac{A d D}{C G}+\dfrac{B}{d}\end{pmatrix}$$
El uso de estas fórmulas de matriz general puede ser elegido por la primera elección de los independientes menores de edad, $A$, $B$, $C$, $D$ y $G$, con valores distintos de cero, sea cual fuere la gama y el tipo (es decir, entero o real) por cualquier medio que desee. A continuación, un valor de $e$ debe ser elegido de la gama y el tipo, permitiendo ser $0$. Dependiendo de si $e$ resulta ser $0$, la correspondiente fórmula puede ser utilizada. Finalmente, los dos últimos valores deben ser elegidos y los valores pueden ser sustituidos en las fórmulas dadas para producir los elementos de la matriz.
Si se requiere que todos los elementos sean enteros o en ciertos rangos o para las matrices a ser producido de manera uniforme utilizando un generador de números aleatorios, más posible será necesario que los valores producidos por las fórmulas de los elementos no se muy bien distribuido o enteros.
