Por qué $\Psi(n)=H_{n-1}-\gamma$

Question

De acuerdo a wikipedia: La función gamma obedece a la ecuación

$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$.

Tomando la derivada con respecto al $z$ le da:

$\Gamma'(z+1)=z\Gamma'(z)+\Gamma(z)$

Dividiendo por $\Gamma(z+1)$ o el equivalente a $z\Gamma(z)$ le da:

$\frac{\Gamma'(z+1)}{\Gamma(z+1)}=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}+\frac{1}{z}$

o:

$\psi(z+1)=\psi(z)+\frac{1}{z}$

Desde la serie de los números se define como

$H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\tag{1}$

la digamma función que se relaciona con él:

$\psi(n)=H_{n-1}-\gamma$

donde $H_n$ es el n-ésimo número armónico, y $\gamma$ es el de Euler–Mascheroni constante.

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Esto no tiene sentido para mí. Los dos valores se restan parecen ser iguales: ¿Cómo $$\psi(z+1)=\psi(z)+\frac{1}{z}\tag{2}$$ differ from $\sum_1^n \frac{1}{z}=H_n$ Si la suma de (2) que no terminan en 1, la definición de la suma no está definido para la gamma negativo de valores enteros. Si wikipedia es decir no entero los valores de $\Psi$ de la suma de un número finito de decir $\frac{1}{1.5}+\frac{1}{2.5}+\frac{1}{3.5}\dots$ diferir de $H_n$ $\gamma$ estoy igualmente dudoso como $\gamma$ es sólo igual a infinito sumas y no veo cómo este valor podría igualar a la infinita diferencia entre la integral de la suma y de $\frac{1}{n}$. Lo que no estoy entendiendo. Por favor, ayudar.

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Edit: como se señaló en los comentarios, podría alguien explicar/link/demostrar por qué es $\frac{\Gamma'(0)}{\Gamma(0)}=\gamma$

Answer 1

Usted tiene $$\psi(n) = \psi(n-1)+\frac{1}{n-1} = \psi(n-2)+\frac{1}{n-2}+\frac{1}{n-1} = \dotsb = \psi(1) + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}. $$ Entonces, ¿qué es $\psi(0)?$ Obviamente es $\Gamma'(1)$. Tenemos el útil de identidad $$ I_n(z) := \int_0^n t^{z-1}\left( 1-\frac{t}{n} \right)^n dt = \frac{n^z n!}{z(z+1)\dotsm(z+n)}. $$ Desde el lado izquierdo tiende a $\Gamma(z)$$z>0$, hemos de Gauss definición $$ \Gamma(z) = \lim_{n \to \infty} \frac{n^z n!}{z(z+1)\dotsm(z+n)} $$ (De hecho, esta definición se cumple para cualquier compleja $z$ para los que el denominador tiene sentido, pero nunca de la mente sobre eso.) Tenemos $$ \frac{I_n'(z)}{I_n(z)} + \frac{1}{z+n} = \log{n} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{z+k-1}. $$ Poner a $z = 1$ y teniendo en $n \to \infty$ da $\Gamma'(1)/1 = -\gamma$.

(Se preocupe acerca de la alternancia de los límites puede ser removido por hacer el cálculo con más cuidado, pero es básicamente el uso de la Monotonía o Dominado Teorema de Convergencia de la integral.)

Answer 2

Diferenciar el registro de la identidad de $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$, obtenemos $$ \frac{\Gamma'(x+1)}{\Gamma(x+1)}=\frac1x+\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\etiqueta{1} $$ que, debido a $H_x=\frac1x+H_{x-1}$, implica que, para algunas constantes $C$, $$ \frac{\Gamma'(x+1)}{\Gamma(x+1)}=C+H_x\etiqueta{2} $$ Desde $\log(\Gamma(x+1))-\log(\Gamma(x))=\log(x)$, tenemos $$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{\Gamma'(x+1)}{\Gamma(x+1)}-\log(x)\right)=0\etiqueta{3} $$ La ecuación de $(2)$, límite de $(3)$, e $\lim\limits_{x\to\infty}(H_x-\log(x))=\gamma$ implica que $C=-\gamma$. Por lo tanto, $$ \frac{\Gamma'(x+1)}{\Gamma(x+1)}=-\gamma+H_x\etiqueta{4} $$

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No es cierto que $\frac{\Gamma'(0)}{\Gamma(0)}=\gamma$. Creo que lo que estás pensando es $$ \frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)}=-\gamma+H_0=-\gamma\etiqueta{5} $$

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Referencia Adicional

En esta respuesta se muestra que $$ \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}=-\gamma+\sum_{k=0}^\infty\left(\frac1{k+1}-\frac1{k+x}\right)\etiqueta{6} $$ y en esta respuesta, se muestra que $$ H_x=\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1k-\frac1{k+x}\right)\etiqueta{7} $$ La combinación de $(6)$ $(7)$ da $(4)$.

Answer 3

De Euler-Mascheroni constante $\gamma$ viene en la mayoría fácilmente desde el equivalente a la definición de la función Gamma $$\frac{1}{\Gamma(s)}= se^{\gamma s}\prod_{n=1}^{\infty} (1+\frac{s}{n})e^{-s/n}$$ A su vez, que la expresión puede ser demostrado ser equivalente a la de Euler definición de la siguiente manera:

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)!n^s}{s(s+1)\cdots(s+n-1)}& = \frac{1}{s}\lim_{n\to\infty}n^s\prod_{k=1}^{n-1}\left(\frac{k}{s+k}\right) \\ &=\frac{1}{s}\lim_{n\to\infty}e^{s\log n}\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+s/k\right)^{-1}\\ & =\frac{1}{s}\lim_{n\to\infty}e^{s(\log n-\sum_{m=1}^{n-1}1/m)}\prod_{k=1}^{n-1}\left(1+s/k\right)^{-1}e^{s/k} \\ & =\frac{1}{s}e^{-s\gamma}\prod_{k=1}^{\infty}\left(1+s/k\right)^{-1}e^{s/k} \end{align} $$ Esto y un número de otros resultados básicos sobre la función Gamma se puede encontrar en algunos de los antiguos mecanografiadas notas por Bruce Berndt (Rudimentos de la teoría de la función gamma), que puede ser encontrado flotando alrededor de la internet.

Finalmente, para obtener la fórmula para la derivada logarítmica tomar la $\log$ (rama principal) $$\log \Gamma(s) = \sum_{n=1}^{\infty}[s/n-\log(1+s/n)] - \log s - \gamma s$$ y tomar la derivada $$\frac{\Gamma'(s)}{\Gamma(s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+s}\right) - \frac{1}{s}-\gamma$$ Setting $s=1$ y la evaluación de la antena telescópica de suma da la fórmula deseada.