¿Por qué un circuito RC no cambia la forma de un seno de entrada?

Question

En la imagen anterior, la onda cuadrada roja es la entrada y la onda azul es la salida de un circuito RC. No soy capaz de entender por qué obtengo una onda sinusoidal perfecta cuando introduzco una onda sinusoidal como entrada. El condensador tiene que tardar en cargarse y descargarse. Así que mi intuición me pide que la salida sea alguna onda periódica cuyo periodo sea la mitad de la entrada. ¿Podría alguien aclararme esto? Gracias.

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En el dominio del tiempo, ¿no debería hacer algo así?
En t=0, el condensador tiene 0 de tensión. Como la tensión de entrada es grande, el condensador sigue cargándose y se encuentra con la onda sinusoidal de entrada cuando ésta cae.

A continuación, la tensión de entrada es inferior a la del condensador, por lo que éste comienza a descargarse y vuelve a encontrarse con la onda sinusoidal de entrada cuando ésta es ascendente.

Answer 1

Aprende a pensar en el espacio de la frecuencia. Esta es una de esas cosas que son difíciles de ver en el dominio del tiempo, pero que caen muy bien en el dominio de la frecuencia.

Una onda sinusoidal es una única frecuencia "pura". Un filtro RC es un sistema lineal que no puede distorsionar, lo que significa que no puede crear frecuencias en la salida que no estén en la entrada. Cuando sólo se pone una frecuencia, la salida sólo puede contener esa frecuencia. La única cuestión es cuál será la amplitud relativa y el desplazamiento de fase de la entrada a la salida.

La razón por la que una onda cuadrada de entrada no da lugar a una onda cuadrada de salida es que una onda cuadrada contiene muchas frecuencias. Cada una de ellas puede ser atenuada y desfasada independientemente. Cuando cambias la fuerza relativa y las fases de los armónicos, obtienes una señal de aspecto diferente en el dominio del tiempo.

Una onda cuadrada puede considerarse como la superposición de una serie infinita de senos. Se trata de todos los armónicos Impares (múltiplos enteros Impares de la frecuencia fundamental). La amplitud de estos armónicos disminuye a frecuencias más altas.

Puedes hacer pasar una onda cuadrada por varios filtros RC de paso bajo en sucesión, cada uno con una frecuencia de caída muy por debajo de la frecuencia de la onda cuadrada. Después de cada filtro, el resultado se parece cada vez más a un seno. Esto se debe a que estos filtros atenúan más las frecuencias altas que las bajas. Esto significa que los armónicos de la onda cuadrada se atenúan más que la fundamental. Si se hace esto lo suficiente, los armónicos tienen tan poca amplitud en relación con la fundamental, que todo lo que se ve es la fundamental. Es una frecuencia única, es decir, un seno.

Añadido

Así no reaccionaría ningún filtro RC:

Para un filtro RC de paso bajo, cuando la frecuencia de entrada está muy por debajo del rolloff, la salida sigue mayoritariamente a la entrada. Por encima de la frecuencia de atenuación, la salida es la integral de la entrada.

De cualquier forma, no habrá cambios bruscos en la pendiente de salida como muestras. No hay nada especial en que la entrada cruce por encima o por debajo de la salida, ya que esto sucede suavemente. Se obtiene un punto de inflexión en la salida, pero es una joroba suave ya que la entrada se acerca suavemente antes y se va suavemente después.

Podría ser instructivo escribir un bucle para simular esto usted mismo. Todo lo que tienes que hacer en cada paso es cambiar la salida en una pequeña fracción de la diferencia instantánea de la entrada menos la salida. Eso es todo. Luego lance una onda sinusoidal y vea cómo la salida la sigue suavemente para hacer otra sinusoidal, aunque retrasada en fase y de menor amplitud.

Answer 2

Recuerda que la tasa de cambio de la tensión del condensador depende de la diferencia de tensión entre la tensión de entrada y la tensión del condensador. Tu gráfico no representa esto.

Cuando la entrada y el condensador están a 0 V y la entrada empieza a subir, la tensión del condensador debería empezar a subir lentamente, ya que la tensión de entrada (y por tanto la diferencia de tensión) también es pequeña.

Cuando la entrada alcanza su punto máximo, la diferencia de voltaje es máxima, y aquí el voltaje del condensador sube más rápido. Cuando la tensión de entrada empieza a bajar, la velocidad de carga del condensador también disminuye. Cuando las dos tensiones se encuentran, la diferencia vuelve a ser pequeña al principio, por lo que la velocidad de descarga también es pequeña. Resulta que esto da lugar a otra onda sinusoidal.

El gráfico de abajo fue simulado (con una hoja de cálculo) con la regla mencionada anteriormente. La diferencia de tensión entre la entrada y la tensión del condensador es mayor un poco antes del pico de la tensión de entrada.

Obsérvese que el gráfico también muestra que la tensión del condensador no vuelve a cero en \$ 2\pi \$ pero se mantiene por debajo. Esto es consistente con que el voltaje del condensador esté desfasado con respecto a la entrada, sólo que tarda algún tiempo en alcanzar un estado estable después de que ambos voltajes partan de cero.

En tu gráfico, el condensador se descarga más rápido justo después de que las dos tensiones se encuentren, pero no es ahí donde la diferencia de tensión es mayor. Con una entrada de onda cuadrada, lo sería, ya que la tensión de entrada no cambiaría de nuevo hasta otro "paso" en la onda cuadrada. Sin embargo, una entrada de onda sinusoidal cambia constantemente.

Answer 3

Obtendrás una onda sinusoidal de salida a partir de una onda sinusoidal de entrada si tu constante de tiempo RC permite que el condensador se cargue/descargue al mismo ritmo o más rápido que los cambios de la forma de onda de entrada.

Su forma de onda de salida se retrasará por la carga y descarga del condensador ligeramente por detrás de los cambios en la forma de onda de entrada, lo que se conoce como desfase.

Encontrarás mucha teoría y matemáticas en Internet, si no las tienes ya.

Answer 4

Para mí, el dominio del tiempo aquí es más explicativo. Si se observa el primer gráfico, se ve lo que parece un paso (para el primer medio período). Es decir, aplicas de repente una tensión y luego la mantienes constante. Esto significa que el condensador intentará alcanzar la tensión aplicada según sus propias leyes, aquí de la forma 1-exp(-x) .

Si, por el contrario, aplicas una onda sinusoidal, para el mismo semiperiodo ya no tienes una subida pronunciada de la tensión, y ésta no se mantiene constante: subirá cada vez más despacio, hasta que se alcance un pico, y entonces disminuirá cada vez más rápido, sumariamente alrededor de su pico. Esto significa que el condensador primero se cargará, cada vez más lento, y luego se descargará, cada vez más rápido. Lo que has dibujado es el resultado de (como mínimo) una carga continua; el seno también se descargará.

Si te sirve de ayuda, piensa en la función escalonada como una suma de todos los senos (impar) , mientras que un seno es, bueno, sólo un sinusoidal. Dado que su RC es un filtro de paso bajo, dejará pasar sólo los senos de baja frecuencia, mientras rechaza los más altos. Si también piensas en términos de \$\sin(x)=i\frac{exp(-ix)-exp(ix)}{2}\$ empieza a ser más claro.