Subsecuencias no triviales de la serie armónica que divergen en el orden de $\log(\log(\log(n)))$ .

Question

Es sabido que

$$\sum_{\text{Integer}}^\infty \frac{1}{n} \sim \log(n),$$

y que

$$\sum_{\text{Prime}}^\infty \frac{1}{p} \sim \log(\log(n)).$$

Estoy buscando otra subserie de la serie armónica que diverge con algún número de logaritmos iterados como

$$\sum_{??}^\infty \frac{1}{q} \sim \log(\log(\log(n))).$$

Por comodidad, se llamará divergencia de "tercer orden". Estoy buscando específicamente una serie que no sea trivial. Un ejemplo trivial sería una serie que se construye de manera que los términos sólo se suman cuando la suma acumulada es menor que $\log(\log(\log(\log (n)))$ . Cuanto más "natural" sea, mejor (aunque soy consciente de que esto es subjetivo). Cualquier respuesta podría incluir el recíproco de los primos de la forma $4n+1$ todos los primos gemelos, todos los números perfectos Impares, etc. Lo único que se necesita es mostrar el orden de divergencia.

También estoy buscando la verificación/refutación de la respuesta actual conjeturada.

Gracias.

Reglas de la recompensa: Busco una prueba o demostración significativa de una serie que presente este comportamiento. No se limita sólo a logaritmos de "tercer orden" y puede ser cualquier "orden" mayor que $2$ .

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He decidido aceptar y recompensar la respuesta de Winther aunque no se considere "natural". Creo que la prueba es correcta y se generaliza a cualquier orden de logaritmo. También proporciona una buena explicación de por qué la serie de primos diverge en logaritmos de segundo orden.

Aunque la pregunta está respondida, seguiría aceptando la presentación de otras series "más naturales" si alguna de ellas apareciera.

Answer 1

No tengo una prueba formal del orden de divergencia, pero espero

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n p(\lceil p(n)/n\rceil)}$$

será el truco, donde $p(n)$ es el $n$ el primero. La intuición es que como $p(n)\sim n\log n$ el denominador escala como $n\log n\log \log n$ y la serie se aproxima a la suma de Riemann de $\frac{d}{dx}\log\log\log x$ .

Answer 2

La idea aquí está básicamente en línea con la respuesta de user7530, pero permite una prueba sencilla. Puede que no satisfaga tu condición "natural", pero los términos de la secuencia que construyo se pueden calcular fácilmente y también se generaliza para encontrar una secuencia con un $k$ de la divergencia de orden, por lo que podría ser de interés.

Empezamos por considerar

$$ \sum^N\frac{1}{n(\log n)(\log\log n)\ldots\log^{(k)}n}$$

donde $\log^{(k)}x = \log(\log(\log(\ldots(\log x))))$ . Por la prueba integral la suma diverge como $\log^{(k+1)} N$ .

Ahora considere $a_n = n\lfloor \log n\ldots \log^{(k)} n\rfloor$ que es una secuencia estrictamente creciente de números naturales (para $n> e\uparrow\uparrow k$ utilizando torre de energía notación). Para demostrar el orden de la divergencia de la suma $1/a_n$ nota que

$$\sum^N \frac{1}{a_n} > \sum^N \frac{1}{n \log n\ldots \log^{(k)} n} \sim \log^{(k+1)}N$$

y para cualquier $\epsilon >0$ tenemos

$$\sum^N \frac{1}{a_n} < \sum^N \frac{1}{n(\log n\ldots \log^{(k)} n) - n} < \mathcal{O}_{\epsilon}(1) + \frac{1}{1-\epsilon}\sum^N \frac{1}{n(\log n\ldots \log^{(k)} n)} \sim \frac{\log^{(k+1)}N}{1-\epsilon}$$

donde $\mathcal{O}_{\epsilon}(1)$ es una constante que depende únicamente de $\epsilon$ . Así, la serie $\sum \frac{1}{a_n}$ tiene un $(k+1)$ divergencia de orden.