¿Si $p\mathcal{O}_K$ se divide totalmente en extensión de Galois, yacen todos primos $p$ generados por una clase en $CL(K)$?

Question

L. S.,

Estudiando para mi examen de la teoría algebraica de números, yo estaba pensando en escribir trucos para el cómputo de la clase de grupo de un número de campo de rápido. Pensé en la siguiente, pero no sé si es cierto. Se podría tal vez me ayude a demostrar si es o no es?

Truco:

Deje $K:\mathbb{Q}$ ser una extensión de Galois de grado $n$. Deje $(p)$ split completamente en $\mathcal{O}_K$$(p) = \prod_{i = 1}^n \mathfrak{p}_i$, con todos los $\mathfrak{p}_i$ norma $p$. Ahora todos los $[\mathfrak{p}_i] \in CL(K)$ son generados por una $[\mathfrak{p}_j]$ algunos $1 \leq j \leq n$.

La razón sospecho que esto de alguna manera podría ser cierto, es porque ya sé que el grupo de Galois actúa transitivamente sobre un conjunto de primer ideales mentir sobre algunos $(p)$, y también porque me ha pasado en la mayoría de los grupos de la clase I calculada hasta el momento.

Muchas gracias!

Answer 1

Después de un poco jugando con la Salvia, aquí es un contraejemplo.

Deje $K=\mathbb Q(\sqrt[3]{11}, \zeta)$ donde $\zeta$ es un cubicado raíz de la unidad. A continuación, $K$ es de Galois con grupo de clase $C_2\times C_2$.

El primer $19$ se divide completamente en $K$. Dos de los primos de $K$ está por encima $19$ $$(19, \zeta-\sqrt[3]{11}-2)\qquad\text{ and }\qquad(19, \zeta-\sqrt[3]{11}+9)$$

Neither of these primes are principal. Hence, if their ideal classes are to lie in a cyclic subgroup of $C_2\times C_2$ (which must be of order $2$), ambas ideales deben estar en el mismo ideal de clase, y, por tanto, su producto debe ser principal. Sin embargo, su producto no es principal.

Sage código:

K.<a> = NumberField(x^3-11)
L.<b> = K.extension(x^2+x+1)
C = L.class_group(); C
OL=L.ring_of_integers()

split =[C(P) for P,e in (19*OL).factor()]
split

split[0].is_principal()
split[1].is_principal()
test = split[0]*split[1]
test.is_principal()

y de salida:

Class group of order 4 with structure C2 x C2 of Number Field in b with defining polynomial x^2 + x + 1 over its base field
[Fractional ideal class (19, b - a - 2), Fractional ideal class (19, b - a + 9), Fractional ideal class (19, b - a - 9), Fractional ideal class (19, b - a - 6), Fractional ideal class (19, b - a + 5), Fractional ideal class (19, b - a + 6)]
False
False
False