¿Por qué relojes medir la longitud de arco?

Question

Disculpas de antemano por la pregunta larga.

Mi entendimiento es que en GR, masiva observadores que se mueven a lo largo timelike curvas de $x^\mu(\lambda)$, y si un observador se mueve de un punto a a $x^\mu(\lambda_a)$$x^\mu(\lambda_b)$, entonces su reloj medida que una cantidad de tiempo $t_{ba}$ dado por la curva de la longitud de arco; $$t_{ba} = \int_{\lambda_a}^{\lambda_b}d\lambda \sqrt{-g_{\mu\nu}(x(\lambda))\dot x^\mu(\lambda)\dot x^\nu(\lambda)}$$ habrán transcurrido donde $g_{\mu\nu}$ es una métrica en el espacio-tiempo con la firma de $(-,+,+,+)$.

¿Por qué es esto así?

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Aquí es cómo iba a intentar justificar este hecho en la relatividad especial con $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}$. Considere la posibilidad de un observador inercial $O$$\mathbb R^{3,1}$, y supongamos que este observador ve un reloj, que voy a llamar observador $O'$ a moverse en una curva de $x^\mu(\lambda)$. Si $O'$ fueron también un observador inercial, entonces dado cualquier evento, con coordenadas $x^\mu$ como se mide por $O$, observador $O'$ medir las coordenadas del evento a se $x'^\mu = \Lambda^\mu_{\phantom\mu\nu} x^\nu + x_0^\mu$ para algunos la transformación de Lorentz $\Lambda$. Si $O'$ es no inercial, entonces esto ya no es cierto, y hay algunos más complicados de la familia de transformaciones, decir $T_\lambda$ entre los eventos como se ve por ambos observadores.

Yo diría, sin embargo, que si llegamos a la partición del intervalo $[\lambda_a, \lambda_b]$ en un gran número de $N$ de los intervalos de $I_1=[\lambda_a, \lambda_i], \dots, I_N=[\lambda_{N-1}, \lambda_b]$$\lambda_n = \lambda_a+n\epsilon_N$$\epsilon_N=(\lambda_b-\lambda_a)/N$, a continuación, en cada intervalo de $I_n$, $O'$ es aproximadamente un observador inercial en el sentido de que $$T_{\lambda_n} = P_n + \mathcal O(\epsilon_N), \qquad (\estrellas)$$ para algunos transformación de Poincaré $P_n$. A continuación, queremos señalar que desde $O'$ es estacionaria en su propio marco de referencia, que mide su worldline tener la propiedad $\dot x'^\mu(\lambda) = (\dot t(\lambda), \mathbf 0)$, de modo que $$I_{ba}=\int_{\lambda_a}^{\lambda_b}d\lambda \,\sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dot x'^\mu\dot x'^\mu} = \int_{\lambda_a}^{\lambda_b} d\lambda \, \sqrt{\dot t^2} = t(\lambda_b) - t(\lambda_a) = t_{ba}$$ Por otro lado, la integral de la izquierda se puede escribir como una suma de Riemann de usar la partición anterior, y podemos invocar ($\star$) de arriba para obtener $$\begin{align} I_{ba} &= \lim_{N\to\infty}\left[\sum_{n=1}^N \epsilon_N\sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dot x'^\mu(\lambda_n)\dot x'^\nu(\lambda_n)}\right] \notag\\ &= \lim_{N\to\infty}\left[\sum_{n=1}^N \epsilon_N\sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dot x^\mu(\lambda_n)\dot x^\nu(\lambda_n)} + \mathcal{O}(\epsilon_N^2)\right] \notag\\ &= \int_{\lambda_a}^{\lambda_b}d\lambda \,\sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\mu} \end{align}$$ La combinación de estos dos cálculos da el resultado deseado.

¿Cómo se sienten acerca de este argumento?

No estoy completamente cómodo con él debido a la suposición $(\star)$ hice en $T_\lambda$.

Me imagino que en GR un argumento similar puede ser hecha por la invocación local planitud de la métrica.

Answer 1

Creo que es obvio a partir de la foto:

(Mi secundaria argumento sería que la integral es la parametrización-independed geométrica de la medida, la minimización de la energía funcional y, por tanto, la generalización natural de la plana caso de traducción en tiempo. Se encuentran a menudo estos exponencial de los mapas en la dinámica, aquí dada por el flujo Geodésico. Localmente puede aplanar la métrica para obtener el $g(x)=\eta+O(x^2)$ e intentar encontrar un límite de pequeños y más pequeños parches. Pero realmente esto es equivalente a resolver la ecuación geodésica, que debe considerarse como de dar el espacio-tiempo de la dirección del objeto en movimiento, como es empujado a través del espacio-tiempo. También es equivalente a minimizar la curva entre los puntos, como motivado por encima.)

Answer 2

[Esta es ahora una respuesta larga. En resumen, por lo general usted necesita un físico de la asunción, el reloj postulado, que la gente tiende a omitir, pero es necesario, y no puede ser discutido por un a priori. Sin embargo, a veces la relatividad especial, además de una versión restringida del postulado de la basta. Mundano experiencia es suficiente para comprobar esta versión restringida.]

Deje $\lambda = t$ el tiempo de acuerdo a la inercia de $O$, y deje $\vec{x}'$ ser la posición espacial de $O'$ según $O$ , mientras que $t'$ es el tiempo medido por $O'$. Si $O'$ es por tramos de inercia, a continuación, a lo largo de cada pieza, $$c^2(\Delta t'/\Delta t)^2 = c^2 - (\Delta\vec{x}'/\Delta t)^2\qquad[1]$$ y lo que usted está tratando de justificar es que, incluso si $O'$ no es a trozos de inercia, $$c^2(dt'/dt)^2 = c^2 - (d\vec{x}'/dt)^2\qquad[2]$$ Así, el problema es que la teoría especial de la relatividad, estrictamente hablando, sólo hace afirmaciones acerca de los observadores inerciales. Y si usted no hace ninguna hipótesis alguna sobre la experiencia de la aceleración de los observadores, entonces creo que usted está atrapado, matemáticamente no creo que te puede ir de$[1]$$[2]$. (Por ejemplo, no podemos descartar que la aceleración debida a sí mismo aún más contribuye a la dilatación del tiempo.) Sugiero:

• El movimiento de $O'$ es suave. [A1]

• Para cada $\epsilon>0$, hay un $\delta>0$ de manera tal que, si, desde el punto de vista de un cierto unaccelerated observador $A$, la magnitud de la velocidad de otro observador $B$ nunca supera $c\delta$ entre el tiempo de $t_0$$t_1$, luego de un lapso de tiempo de $\Delta t_B$ $B$'s reloj satisface $(t_1-t_0)(1-\epsilon) < \Delta t_B < (t_1-t_0)(1+\epsilon)$. [A2]

Pick $\epsilon>0$, utilice [A2] para obtener la $\delta$; uso [A1] para romper el movimiento de $O'$ en intervalos lo suficientemente pequeño tal que, desde el marco de referencia de un interial observador que viaja entre los extremos de una pieza, la velocidad de las $O'$ nunca supera $c\delta$; el uso de [A2] para hacer $[2]$ verdadero dentro de $\epsilon$. Desde que esto funciona para todos los $\epsilon>0$, [2] simplemente es la verdad.

Ahora [A1] podría parecer sospechoso, ya hemos utilizado trozos observador inercial, cuyo movimiento no es, obviamente, suave! Así que incluso no podemos asumir nada acerca de lo que esta por tramos observador inercial experiencias en las esquinas! Pero eso está bien, [A2] sólo se refiere a las piezas individuales y no el todo. El uso de una familia de (realmente) la inercia de los observadores que se encuentran en los puntos correspondientes.

En cuanto a [A2], es un poco opaco, pero lo que dice es que si no estás moviendo demasiado rápido en relación a un observador inercial, su experiencia del tiempo es casi el mismo. De esto no se sigue lógicamente de nada en particular, es sólo un físico de la asunción. Pero tenga en cuenta que la relatividad especial es tan difícil para muchas personas a aceptar precisamente porque [A2] es un hecho de la vida, razonablemente pequeño $\epsilon$. Para hacer realidad incluso para los más pequeños de $\epsilon$ requiere más de la experiencia de todos los días, pero todavía es "de sentido común", y, presumiblemente, comprobables a valores pequeños.

Ahora, a creer que, literalmente, por arbitrariamente pequeño $\epsilon$ requiere de un salto bastante grande, pero no tome ecuaciones diferenciales, literalmente.

(Agregado:) ¡Ajá! He encontrado el reloj postulado para la aceleración de los observadores, y yo creo que [A2] es intercambiable con ella. Y sí, es que a menudo se omite, pero no puede ser derivada a partir de otros supuestos. Se ha probado.

(Segunda adenda): aunque son interderivable, el mío es mejor :-) me has dado la exactitud de [2] directamente en términos de la exactitud de [A2]. Por ejemplo, no es necesario que el reloj completo postulado de la paradoja de los gemelos (que se puede mencionar como un ejemplo muy motivador en un comentario):

• La correcta aceleración de $O'$ es continua y su magnitud está delimitado por $a_{max}$. [A1']

(A través de cualquier intervalo finito, [A1] implica [A1'] para algún valor de $a_{max}$. Y [A1'] es suficiente para que el argumento anterior.)

Ahora, incluso con mundano aceleraciones, la paradoja de los gemelos puede producir una considerable falta de coincidencia en las edades dentro de la vida del ser humano. (Además, si no están de supervivencia de las aceleraciones, el viaje doble vida termina!) Por lo tanto, hay un utilizable $a_{max}$ [A1']. Y mundana, la sola experiencia demuestra [A2] hasta que $a_{max}$ y hasta bastante pequeño $\epsilon$. [2] sostiene suficientemente precisa para dar la paradoja de los gemelos. Sólo necesitamos la relatividad especial de einstein, además de un mundano restringido reloj postulado.

(Me doy cuenta de que usted puede pasar por alto el conjunto de la aceleración de la pregunta por la alteración de la paradoja, de modo que hay tres observadores inerciales que comparar relojes a medida que pasan. Pero entonces no es el doble paradoja más, duh!)

Answer 3

Definitivamente la cosa esta pregunta es mucho más sencilla.

Es una hipótesis a priori sobre la cual GR es construido, que esta cantidad deberá ser independiente del observador:

$$ds^2=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$$

es decir, dos diferentes observadores medirán el mismo espacio-tiempo de intervalo entre dos infinitesimalmente cerca de los acontecimientos.

Por otro lado, el $x^0$ coordenadas de cualquier observador que es , por definición, la conferencia en su reposo reloj, (tiempos de $c$ o no, los tiempos de $+1$ o $-1$, dependiendo de cada autor moderno de muy mal gusto).

Ya que el reloj del movimiento del observador está en reposo con respecto a su propio marco de referencia, se mide no en la variación de las coordenadas espaciales, es decir,$dx^1=dx^2=dx^3=0$. Por lo tanto, medidos desde el observador en movimiento, $$ds^2=g_{00}dx^{0}dx^{0}$$

Que es a su debido tiempo (al cuadrado) debido a $g_{00}=\pm 1$ (la métrica de un observador en caída libre es localmente plana). Desde $ds^2$ deberá ser la misma para ambos observadores, luego de la lectura de la caída libre del reloj es igual al intervalo de espacio-tiempo medido por el observador distante. Eso es todo.

Ahora, si lo prefiere, puede reescribir la $dx^{\mu}$ como funciones de una variación en el parámetro de $\lambda$ describiendo la curva, y se integran a lo largo de la curva, con el fin de llegar trivialmente en las expresiones en su pregunta.

No quiero decir que las otras respuestas son erróneas, sino simplemente que esto es un directo resultado de la teoría original, como expone muy pronto por el mismo Einstein en Princeton conferencias de 1921, que no necesita mucha sofisticación matemática o postulados adicionales. Einstein quería extender la invariancia de $ds^2$ de la Relatividad Especial, a la esfera de la no-inercial de los observadores. En su esfuerzo para encontrar lo $g_{\mu\nu}$ tenía que ser para que la invariancia a celebrar también en la presencia de la aceleración/de la gravedad y curvas coordenadas, utilizó el transporte paralelo para llegar a la geodesics ecuación. Es por eso que el geodesics ecuación era un postulado en la temprana formulación de GR (el siguiente paso fue relacionan $g_{\mu\nu}$ a de la materia/energía, y es por eso que las Ecuaciones de Campo con el tensor de Einstein es el otro postulado de la teoría, pero esa es otra cuestión)

Yo creo recordar haber leído en algún lugar, que la geodesics ya no es un postulado, porque puede ser derivada a partir de las ecuaciones de Campo. Yo estaría muy agradecido a cualquier usuario que proporciona la referencia correspondiente. En 1921, sin embargo, era un postulado.

Esta Einstein a principios exposición de GR de la Princeton conferencias es de una gran belleza, lleno de nuevas ideas y brillante heurística de pensamiento. No sé por qué es casi sistemáticamente ignorados en cada estándar GR bibliografía.

Ahora, si yo estoy equivocado, y esta pregunta no es tan ingenuo como parece, espero que alguien de los puntos de donde yo estoy equivocado, y lo que me falta, así que voy a aprender algo nuevo.