Que $G=Z(p^k)$ donde $k=1,2,..,\infty$. El grupo $G$ tiene exactamente una serie de subgrupos.
¿Existe un otro grupo abelian infinito con esta propiedad?
Respuestas
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Jeff Leonard
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Si $G$ es de un número finito de abelian grupo, se puede demostrar que si el subgrupo de celosía es una cadena, entonces $G$ es cíclico del primer poder de la orden, y por lo tanto la respuesta es no, al menos en el caso finito.
En primer lugar, si $|G|$ es divisible por dos primos $p$$q$, $G$ contiene un subgrupo $H$ orden $p$ y un subgrupo $K$ orden $q$, y ninguno de estos se contiene en el otro (por Lagrange, por ejemplo), por lo que el subgrupo de celosía no es una cadena.
Así, podemos asumir que el $|G| = p^n$ para algunos prime $p$. Si $G$ no es cíclica y, a continuación, $n\geq 2$ $G$ contiene un subgrupo isomorfo a $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Si el subgrupo de celosía de $G$ es una cadena, así que es el subgrupo de celosía de cualquier subgrupo de $G$, por lo que es suficiente para mostrar que el subgrupo de celosía de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ no es una cadena.
Pero $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ contiene los dos subgrupos $\left<(1,0)\right>$ $\left<(0,1)\right>$ (así que aquí $1$ es el generador de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ $0$ es la identidad). Pero ninguno de estos subgrupos se contiene en el otro, como su intersección es trivial.
Esto demuestra la reclamación original.
Para el caso infinito: Si $G$ contiene un elemento finito y de lo infinito para, a continuación, estos generan subgrupos ninguno de los cuales está contenido en el otro, así que podemos descartar esto.
Si $G$ es de torsión y contiene elementos de las órdenes de $p$ $q$ para diferentes números primos $p$$q$, se puede utilizar el mismo argumento como en el caso finito.
Si $G$ es de torsiones y no cíclico, a continuación, $G$ contiene dos elementos de orden infinito, ninguno de los cuales está contenido en el grupo generado por los otros, por lo que no obtiene una cadena como subgrupo de celosía.
Ahora hemos reducido este a loking en infinite $p$-grupos. Para cualquier $n$, los elementos de orden dividiendo $p^n$ debe ser un subgrupo cíclico, y desde cualquier elemento contenido en dicho subgrupo, conseguimos que los $G$ es de hecho la directa límite de$\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$$k\geq 1$.
Para cualquier número primo $p$, el grupo de raíces de la unidad, cuyo orden es una potencia de $p$ (directa límite de grupos cíclicos de orden una potencia de $p$) es un ejemplo de una infinita grupo con la mencionada propiedad. (No está claro para mí que el grupo se menciona en la pregunta, tal vez es esta?)
Desde la propiedad necesariamente se aplica a todos los subgrupos de un grupo de $G$ que la tiene, y ni $\mathbf Z$ ni cualquier grupo que no trivally se descompone como producto directo tiene la propiedad (por lo que el $G$ es una torsión de grupo, y el orden de cualquier elemento de $G$ debe ser una fuente primaria de energía), se muestra que estos ejemplos son hasta un isomorfismo los únicos.
Concretamente: $\mathbf Z$ ha incomparable subgrupos, por ejemplo,$2\mathbf Z$$3\mathbf Z$, mientras que un número finito cíclico grupo cuyo orden tiene por lo menos dos diferentes factores primos se descompone como producto directo por el (aditivo parte de) el teorema del resto Chino; ninguno de estos grupos tiene una única cadena de subgrupos.
Si $p$ es el único factor primo de algún elemento no trivial de $G$, luego el orden de cualquier elemento debe ser una potencia de $p$, no sea que podemos encontrar elementos cuyo orden consta de dos factores primos. Cualquiera de los dos elementos de orden $p^k$ debe generar el mismo subgrupo de orden $p^k$ $G$ (de lo contrario esos subgrupos sería incomparable), y dado que el $G$ es infinito, debe tener un subgrupo de todas las $k\in\mathbf N$. A continuación, $G$ es la unión de estos subgrupos.
