Si $\alpha$ y $\beta$ son las raíces de la ecuación $x^2 + 8x - 5 = 0$ , encuentra la ecuación cuadrática cuyas raíces son $\frac{\alpha}{\beta}$ y $\frac{\beta}{\alpha}$ .
Mi trabajo hasta ahora: Sé que $\alpha + \beta = -8$ y $\alpha \beta = -5$ (a partir de las raíces) y luegoIi pasar a trabajar que $\alpha= -8-\beta$ y $\beta= -8-\alpha$ , luego lo sustituyo por lo que me pide la pregunta.
$\frac{-8-\beta}{-8-\alpha}$ y $\frac{-8-\alpha}{-8-\beta}$ Sin embargo, no sé cómo seguir adelante. Puede que esté haciendo esto completamente mal y mis disculpas por ello.
Otra solución se me ocurrió que si $\alpha$ y $\beta$ son raíces de la otra ecuación desconocida. Puedo manipularlo de alguna manera para encontrar la respuesta. Pero no creo que eso funcione. Toda ayuda es apreciada gracias.
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Sé que esto ya se ha respondido más abajo, pero creo que es aún más sencillo observar que la ecuación que se busca es simplemente $(x-\alpha/\beta)(x-\beta/\alpha)=0$ .
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Mucho más sencillo, sin duda. Pero creo que las respuestas de abajo proporcionan una respuesta mucho más razonable y comprensible (lo que se hace y por qué). Sin embargo, esto es mucho más simple.
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Usted sabe $\alpha$ y $\beta$ del enunciado del problema, por lo que su producto y suma es irrelevante. Simplemente sustitúyelos en lo anterior y tendrás la respuesta. Los pasos que se describen a continuación no son relevantes para el problema y sólo complican las cosas.
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Puede que tengas razón. Pero lo que me parece más difícil de este método más simple es que no sabemos / y / ya que todavía tienen una variable desconocida. sin embargo, sabemos lo que y + son iguales.
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Usted sabe $\alpha$ y $\beta$ exactamente; son las raíces de $x^2 + 8x - 5 = 0$ y se puede calcular con la fórmula cuadrática.
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@AnonSubmitter85 Si calculas $(x - \frac{\alpha}{\beta})(x - \frac{\beta}{\alpha})$ se obtiene $x - (\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha})x + \frac{\alpha}{\beta}\frac{\beta}{\alpha}$ y como sabemos lo que $\alpha + \beta$ y $\alpha\beta$ son, son más fáciles de trabajar, que tratar de calcular lo mismo mientras se trabaja con $-4 \pm \sqrt{21}$ en todas partes, ¿no?
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Lo que quiero decir es que tu método es más sencillo, pero también tienes que calcular más.
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Sí. Todo lo que tienes que hacer es escribir $\alpha = -4 - \sqrt{21}$ , $\beta = -4 + \sqrt{21}$ y la ecuación cuadrática deseada es $(x-\alpha/\beta)(x-\beta/\alpha)$ . Eso es. Lo más importante es tener en cuenta que si te piden encontrar la ecuación cuadrática con raíces $a$ y $b$ la respuesta es simplemente $(x-a)(x-b)$ . No hay que buscar relaciones entre $a$ y $b$ para encontrarlo.
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@AnonSubmitter85 No tienes que hacerlo, no, pero tampoco tienes que resolver la ecuación cuadrática. Ambos métodos dan la misma respuesta (correcta), así que la elección del método es sólo preferencia, y al menos personalmente preferiría el método con menos cálculos, es decir, la respuesta dada.
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@Greebo Necesitas la ecuación cuadrática para obtener $\alpha$ y $\beta$ independientemente del método.
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@AnonSubmitter85 Ese es el punto, no necesitas $\alpha$ y $\beta$ . La cuestión no es encontrar ninguna de estas cosas, así que un método para encontrar la respuesta que no necesite calcularlas será, por supuesto, computacionalmente más fácil que un método que necesite calcularlas, ¿no?
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El enfoque sugerido por AnonSubmitter es conceptualmente más simple, pero también parece soso, banal, sin interés - no es tan inteligente como el otro enfoque. Menos pensar, pero más teclear. Elige tu veneno. Habría sido mejor si la ecuación tuviera raíces complejas. Entonces el enfoque "inteligente" sería claramente superior porque evita la necesidad de juguetear con los números complejos.
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@Greebo Lo siento, pero tus comentarios no reflejan con exactitud lo que hay aquí. No hay ningún método discutido aquí que evite el cálculo $\alpha$ y $\beta$ . La pregunta ha sido respondida, así que dejémosla.
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@AnonSubmitter85 En el método dado, todo lo que se calcula es $\alpha + \beta$ y $\alpha\beta$ que son mucho más fáciles de calcular que $\alpha$ y $\beta$ ellos mismos.
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@Greebo Punto tomado. No sé por qué no pude ver esto antes; tenía las anteojeras puestas.
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Relación entre las raíces y el coeficiente hemos leído que $\alpha$ más $\beta$ ( la suma de las dos raíces es igual a $-\frac{b}{a}$ ) el de los productos de las raíces es igual a $\frac{b}{a}$ )