¿En qué sentido es gravedad "teoría cuadrado de calibre"?

Question

En este punto, en una charla sobre la supergravedad, Lance Dixon dice "Gravedad = (teoría de gauge)$^2$". (He encontrado un conjunto ligeramente diferente de sus diapositivas en línea; el más cercano es de diapositiva 19 aquí.) Él explica que, debido a la gravitón spin ser el doble que la de un gluon, y porque gravitón dispersión de las amplitudes son productos de pares de gluon amplitudes (que ayuda a SUGRA cálculos), un gravitón puede ser considerado como una combinación de los dos "gluones".

Entonces, ¿cómo esta idea de trabajo? Mi sospecha es que los gluones en esta analogía son los veilbein $e_\mu^A$, un conjunto de $D$ vectores en un $D$-dimensiones espacio-tiempo viz. $g_{\mu\nu}=e_\mu^A\eta_{AB}e_\nu^B$. Comparando esto con los ocho $A_\mu^a$ en QCD, supongo que nos "cuadrado" un veilbein grupo gauge $G\le U\left( D\right)$ $D$ generadores. Sin embargo, ya nos gustaría a $D^2$ pares de $e_\mu^Ae_\nu^B$, no podemos simplemente usar $G^2:=G\times G$ como una Mentira grupo (que sólo habría dimensión $2D$). En cualquier caso, el uso de $G^2$ como una Mentira grupo acaba de dar una teoría de gauge, no una "teoría de gauge$^2$" como Dixon sugiere. En otras palabras, tenemos a la "plaza" de la teoría en un sentido diferente.

Answer 1

Creo ver la fuente de la confusión: cuando las amplitudes de las personas hablan acerca de la gravedad como teoría de gauge cuadrado, ya hemos arrancado el grupo gauge.

Usted habla de ocho $A_\mu^a$ en QCD. Estos pueden ser escritos como $A_\mu^a=T^a e_\mu$ donde $T^a$ es una matriz de SU(3) y $e_\mu$ es el vector de polarización. En la cáscara, esto ha $D-2$ grados de libertad. Si queremos obtener la gravedad, nos quita el color de las piezas y de la plaza, recibiendo $e_\mu e_\nu=e_{\mu \nu}$, la polarización tensor para un shell de gravitón. Así, mientras que su instinto en el pensamiento acerca de la veilbein era la correcta, en este caso el de la construcción es un poco más simple.

(Tenga en cuenta que estamos hablando exclusivamente sobre en la cáscara de los estados aquí. Si desea contar esta historia off-shell, las cosas se ponen un poco más complicadas. Ya que toda esta historia viene de la dispersión de las amplitudes, el interventor de los estados siempre están en la cáscara, y a menudo se pueden tratar en la cáscara interna de los estados en las etapas intermedias del cálculo a través generalizada unitarity y similares, véase el capítulo 6 aquí.)

Vamos a ver que esto le da el derecho número de grados de libertad. Por ejemplo, en cuatro dimensiones de cada uno de los gluones, la polarización puede ser más o menos. $e_\mu^+ e_\nu^+=e_{\mu \nu}^+$ da la helicidad positiva de la polarización de la gravitón, mientras que $e_\mu^- e_\nu^-=e_{\mu \nu}^-$ da la helicidad negativa de la polarización.

¿Qué acerca de la $e_\mu^- e_\nu^+$$e_\mu^+ e_\nu^-$? Aquí parece que tenemos muchos estados. Esta resulta ser una característica, no un error, porque la teoría, que se está generando aquí no es pura gravedad, es axion-dilaton la gravedad. En cuatro dimensiones, el antisimétrica campo $B_{\mu\nu}$ es dual a un pseudoscalar, el axión. Junto con la métrica de seguimiento, el dilaton, tenemos el número de la derecha de los campos para que coincida teoría de gauge cuadrado en la cáscara. Tenemos axion-dilaton la gravedad en lugar de pura gravedad, en parte, debido a que estas construcciones se encuentran originalmente en la teoría de las cuerdas y en las teorías de supergravedad, donde en general se han axion-dilaton la gravedad. Si recuerdo correctamente, hay maneras de modificar la configuración para matar el extra de la libertad y de volver a la pura gravedad, pero son un poco desordenado.

Answer 2

El gravitón es en cierto sentido una enredada estado triplete de dos bosones gauge. El glueball estado de dos gluones en un estado triplete es la mecánica cuántica de la misma como un gravitón. Sin embargo, no es el caso de un glueball es un gravitón. Estos se pudren rápidamente debido a que el color de la carga interna del sistema es muy fuerte. El S-doble de QCD posible que a pesar de tener una muy débil color de la carga, que se hará el consiguiente enredados pareja muy débilmente interactuantes y estable.

Las dos consideraciones, una de un medidor de transformación definida por la raíz de los vectores de una Mentira álgebra y la otra la gravitación, se consideran con respecto a cada uno de los otros. La curvatura de Riemann a la desaparición de la curvatura de Ricci es el tensor de Weyl. Para sin fuentes de la región de la curvatura es puramente vacío y dado por el tensor de Weyl. Nula vectores $U^\alpha$ el vector nulo $U^{\alpha\beta}~=~[U^\alpha,~U^\beta]$ está definido. Estos son los eigen-bivectors del tensor de Weyl $$ \frac{1}{2}{C^{\mu\nu}}_{\alpha\beta}U^{\alpha\beta}~=~\lambda U^{\mu\nu}. $$ \vskip.1en Considerar la métrica compuesta de los vectores nulos $x_\alpha,~y_\alpha,~z_\alpha$, wuch que $z^\alpha y_\alpha~=$ $x^\alpha y_\alpha~=~-1$ y $\bar y^\alpha y_\alpha~=~1$, $$ g_{\alpha\beta}~=~x\alpha z_\beta~+~z_\alpha x_\beta~+~y_\alpha\bar y_\beta~+~\bar y_\alpha y_\beta. $$ Hay entonces tres posibles null bivectors $$ U_{\alpha\beta}~=~-X_{[\alpha}y_{\beta]},~V_{\alpha\beta}~=~z_{[\alpha}y_{\beta]},~W_{\alpha\beta}~=~-y_{[\alpha}\barra de y_{\beta]}~-~-X_{[\alpha}y_{\beta]}, $$ de modo que el tensor de Weyl se compone de la $$ \begin{align}C_{\alpha\beta\mu\nu}&~=~ \Psi_0U_{\alpha\beta}U_{\mu\nu} \\ &\, \, \, ~+~\Psi_1(U_{\alpha\beta}W_{\mu\nu}~+~W_{\alpha\beta}U_{\mu\nu}) \\ &\, \, \, ~+~\Psi_2(V_{\alpha\beta}U_{\mu\nu}~+~U_{\alpha\beta}V_{\mu\nu}~+~W_{\alpha\beta}W_{\mu\nu}) \\ &\, \, \, ~+~\Psi_3(V_{\alpha\beta}W_{\mu\nu}~+~W_{\alpha\beta}V_{\mu\nu}) \\ &\, \, \, ~+~\Psi_4V_{\alpha\beta}V_{\mu\nu}\end{align}, $$ para $\Psi_i$ Weyl escalares. Estos definen diferentes de la física; $\Psi_2$ da el vacío en torno a una fuente central, como un agujero negro, $\Psi_4$ son transversales y modos de $\Psi_1,~\Psi_3$ se encuentran dentro y fuera dirigida modos longitudinales.

Cada uno de los bivectors puede ser expresado en función de un vierbein $U^a~=~E^\alpha u^a_\alpha$, donde ahora la latina los índices de referencia para el espacio-tiempo y el griego índices corresponden a un espacio interno dado por la raíz de los vectores de una Mentira álgebra. Luego podemos ver que $U_{ab}~=$ $2[E^\alpha,~E^\beta]U_beta^{[b}U_\alpha^{a]}$. El tensor de Weyl es entonces $$ C^{abcd}~=~ 2\Psi_0[E^\alpha,~E^\beta][E^{\alpha},~E^{\beta}]U^{ab}_{\alpha\beta}U^{cd}_{\alpha\beta} $$ $$ ~+~2\Psi_1[E^\alpha,~E^\beta][E^{\alpha'},~E^{\beta'}](U^{ab}_{\alpha\beta}W^{cd}_{\alpha'\beta'}~+~W^{ab}_{\alpha\beta}U^{cd}_{\alpha'\beta'}) $$ $$ +~2\Psi_2[E^\alpha,~E^\beta][E^{\alpha'},~E^{\beta'}](V^{ab}_{\alpha\beta}U^{cd}_{\alpha'\beta'}~+~U^{ab}_{\alpha\beta}V^{cd}_{\alpha'\beta'}~+~W^{ab}_{\alpha\beta}W^{cd}_{\alpha'\beta'}) $$ $$ +~2\Psi_3[E^\alpha,~E^\beta][E^{\alpha'},~E^{\beta'}](V^{ab}_{\alpha\beta}W^{cd}_{\alpha'\beta'}~+~W^{ab}_{\alpha\beta}V^{cd}_{\alpha'\beta'}) $$ $$ +~2\Psi_4[E^\alpha,~E^\beta][E^{\alpha},~E^{\beta}]V^{ab}_{\alpha\beta}V^{cd}_{\alpha\beta} $$

donde la bi-vierbeins $U^{ab}_{\alpha\beta}$, claramente definido. La naturaleza del medidor de campo o de calibre-como campo asociado con estos Mentira algebraicas raíces se discute en la última sección. \vskip.1en La raíz de vectores $E^\alpha$ obedecer los conmutadores $$ [E^\alpha,~E^\beta]~=~N^{\alpha\beta}H^{\alpha+\beta}, $$ donde $H^{\alpha+\beta}$ son los pesos. Con cualquier Mentira álgebra hay elementos que son análogas a las de $a$ $a^\dagger$ para el oscilador armónico, que son el estándar de raíces $E^\alpha$ $a^\dagger a$ que corresponden a los pesos $H^\alpha$. Para el indicador teórico de la descripción de la $\hat C$ operadores el resultado es lineal en el peso. Para la gravitación, el operador es cuadrática en los pesos. El tensor de Weyl para el tipo de $D$ $II$ soluciones son eigenvaled con $C_{abcd}U^bU^c~=~\lambda U^aU^d$. Es posible ver el tensor de Weyl para estos eigenvalued Petrov tipos obedece $$ C_{abcd}U^bU^c~=~\lambda E_\alpha E_\delta U^\alpha_a U^\delta_d. $$ En consecuencia, el tensor de Weyl para estos eigenvalued Petrov tipos obedece $$ C_{abcd}U^bU^c~=~N_{\alpha\beta}N_{\gamma+\delta}H_{\alpha+\beta}H_{\gamma+\delta}U^\alpha_a U^\beta_bU^\gamma_cU^\delta_dU^bU^c~ $$ $$ =~N_{\alpha\beta}N_{\gamma+\delta}H_{\alpha+\beta}H_{\gamma+\delta}E^\beta E^\gamma U^\alpha_a U^\delta_d~=~\lambda E_\alpha E_\delta U^\alpha_a U^\delta_d. $$ Los conmutadores de la Mentira algebraicas raíces preocupación de las características observables $A_i$ $B_i$ a cada lado del aparato. En el caso de una Mentira álgebra un indicador de la transformación, o la introducción de una fuerza, transforma estos operadores con relación a la otra. Esto se traduce luego en una modificación de la Tsirelson obligado. Del mismo modo, para la gravitación, el paralelo de la traducción de estos operadores en cualquiera de los lados del aparato hace lo mismo.

Esto es un poco formal, Podemos pensamiento pensar de los pesos como los estados de gluones. Estos se forman a partir de la conmutacion de la raíz de los vectores. El producto de los pesos de la suma sobre el interno del índice de la Mentira álgebra y la forma de un tensor de Weyl. De esta manera hemos obtenido algunos aspectos de un gravitón del grupo de representación de un medidor de partículas. En particular, el gravitón es un producto del calibre de las partículas.