Fila de libres submódulos de un módulo libre sobre un anillo comutativo.

Question

Libres módulos sobre un anillo comutativo $R$ $1$ tienen rango bien definido.

Me pregunto si hay un % de anillo $R$que hay módulos gratis $M'\subset M$ $\operatorname{rank}(M')>\operatorname{rank}(M)$ por un tiempo, pero no puede venir para arriba con ejemplos o una prueba de lo contrario en general.

Todo lo que sé es que esto nunca sucede si $R$ es un dominio, ya que se pueden considerar $M'$ y $M$ como espacios del vector sobre el campo fracción de $R$.

Answer 1

Lema

Una forma de ver por qué el libre submódulos de libre módulos sobre un anillo conmutativo tener igual o menor rango se utiliza este lema. El lema se muestra aquí, que surjections de finitely módulos sobre anillos conmutativos son necesariamente isomorphisms.

Si $R^m$ fueron isomorfo a un submódulo de $R^n$$m>n$, usted puede ser capaz de construir una proyección de que submódulo en $R^n$ que luego sería necesariamente ser un isomorfismo, pero eso es imposible, ya que hemos decidido filas de f.g. libre módulos están bien definidos para anillos conmutativos.

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Bono (=ignorable)

Los anillos que tienen bien definidos los rangos de sus finitely libres generados por los módulos se dice que el IBN propiedad. Esta propiedad es: "Si $R^n$ $R^m$ son isomorfos como derecho $R$ módulos, a continuación,$m=n$."

La prueba de que un anillo conmutativo $R$ tiene IBN es bastante fácil si usted puede hacer un par de saltos. Primero de todo, después de la cosecha de base para $R^n$$R^m$, uno puede ver que esto equivale a encontrar una $n\times m$ matriz $A$ e una $m\times n$ matriz $B$, ambos por encima del $R$, de tal manera que $AB=I_n$$BA=I_m$. La segunda observación es que podemos elegir un ideal maximal $M$ $R$ y el proyecto de $R$ a $R/M$, un campo. Pero si usted se aplica esta proyección para las entradas de $A$$B$, usted termina con dos matrices que son mutuamente inversas sobre un campo: pero eso implica $m=n$ ya sabemos dimensión está bien definido para espacios vectoriales.

Hay algunos ejemplos de anillos en general, pero no para anillos conmutativos. El ejemplo familiar para los anillos de los rangos que no están bien definidos son de lineal total anillos.

Tome $R$ a ser el anillo de transformaciones de un contable de infinitas dimensiones espacio vectorial. No es difícil mostrar que $R\cong R^2$ $R$ módulos, y por lo tanto, por inducción $R\cong R^n$ cualquier $n\in \Bbb N$, y, a continuación, $R^n\cong R^m$ para cualesquiera enteros positivos $n,m$.

Si por "rango" usted está pensando en la $n$ $m$ arriba, entonces este ejemplo muestra que el "rango" de un módulo no siempre está bien definido.

Por otra parte, si este no te convence ya, tome $R^2$ y mirar el submódulo $R\times \{0\}$. El submódulo todavía es isomorfo a $R^m$ para cualquier entero positivo $m$ le gusta.

Answer 2

Esto no puede suceder. Ver notas de corolario 5.11 de Keith de Conrad en potencias de exteriores:

http://www.Math.UConn.edu/~kconrad/Blurbs/linmultialg/extmod.pdf