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¿Es eso realmente así?

Este ejercicio apareció en mi prueba de análisis el año pasado y todavía me es desconcertante desde entonces. Irónicamente, incluso el profesor duda de si la parte b es realmente verdad (aún...)

Que AR

una) si 0<m(A)<, entonces para cada α(0,1), existe un intervalo abierto I tal que αm(I)m(AI)

b) if m(AI)m(I)2 para cada intervalo abierto, entonces m(A)=0

7voto

Davide Giraudo Puntos 95813

Que ε>0 y {In}n una colección de intervalos abiertos que A y que +j=1m(Ij)m(A)2ε. (la medida exterior es finita). Tenemos m(A)+j=1m(AIj)12+j=1m(Ij)m(A)2+ε,$$porlotanto,0\leq \frac{m^*(A)}2\leq \varepsilon y hemos terminado.

2voto

Hagen von Eitzen Puntos 171160

Considerar el An:=A[n,n] nN. Que μ:=m(An). Entonces μ2n<. Si ε>0, entonces existe un conjunto contable de intervalos Ik, kN, que AkIk y km(Ik)<μ+ε. Obtenemos μkm(IkAn)k12m(Ik)=12km(Ik)<μ+ε2, por lo tanto, μ<ε. Desde ϵ>0 era arbitrario, concluimos μ=0, es decir, m(An)=0.

Por último, implica la A=nAn m(A)nm(An)=0.

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