Es algo que siempre quiero averiguar, ¿cuándo comenzó a extenderse el cálculo al análisis? (Reformulo la pregunta, la anterior "donde se puede trazar una línea para distinguir el cálculo y el análisis, o ni siquiera existe tal línea" era bastante engañosa).
Como se ha mencionado mucho en los comentarios, el análisis es un campo mucho más fronterizo que el cálculo, pero la raíz podría remontarse al cálculo del siglo XIX.
Además, de hecho el cálculo infinitesimal se demostró en análisis no estándar, pero creo que se inventó hasta los años 60. Y no sé si puede reemplazar todos los argumentos de las teorías desarrolladas después de $ \varepsilon - \delta $ -y antes de la invención del análisis no estándar.
Le explicaré lo que entiendo, por favor señale mis errores.
La etapa inicial (Newton y Leibniz)
Usaron infinitesimal, digamos $ \mathrm {d}( \cdot )$ para describir cambios como $ \mathrm {d}x$ y $ \mathrm {d}y$ . Y usa $$ \frac { \mathrm {d}y}{ \mathrm {d}x}= \frac {y(x+ \mathrm {d}x)-y(x)}{ \mathrm {d}x}$$ para calcular los derivados.
Y que $y'$ ser una notación abreviada para $ \frac { \mathrm {d}y}{ \mathrm {d}x}$ definieron la integral como la suma de los infinitesimales $$ \int y' \mathrm {d}x. $$ (No sé cómo definieron Newton y Leibniz la integral. Tal vez como $ \approx\sum y(x_i) \Delta x$ ?)
Siglo XIX
La gente empezó a preocuparse por la precisión de los infinitesimales. Y la proporción de infinitesimales fue reemplazada por el límite (el ' $ \varepsilon - \delta $ definición).
En notación abreviada $$ \frac { \mathrm {d}y}{ \mathrm {d}x}:= \lim_ {t \rightarrow 0} \frac {y(x+t)-y(x)}{t}.$$ $$$$
Si bien la notación fue heredada, ya no tenía el significado original.
Y Riemann estableció su formalización de la integración.
A partir de ellas, se empezó a trabajar en funciones definidas en el sistema de números reales (análisis real). Y mientras tanto, las propiedades del número real fueron exploradas intensamente (teoría de conjuntos, continuum, etc.).
Más tarde, el concepto de límite se amplió a espacios más generales, como los espacios métricos (distancia generalizada), espacios normalizados (longitud generalizada).
Tantas ramas del análisis como la teoría de la medida (es una parte del análisis real. ), el análisis funcional, las ecuaciones diferenciales surgieron.
Por lo tanto, a grandes rasgos, el cambio de un enfoque infinitesimal a un enfoque límite puede considerarse como la línea que separa el cálculo y el análisis.
Curiosamente, en los libros de texto modernos de cálculo, de hecho usan vagamente el enfoque de análisis mientras que siguen llamándose a sí mismos Cálculo. ¿Esto se debe a que no discuten el sistema numérico real, que es la base del resto. Y solo argumentan vagamente "tomar el límite por $ \Delta x \rightarrow 0$ '? Realmente me confundo aquí.
Actualizaciones:
¿Puedo afirmar que el cálculo es un estudio sobre funciones de valor real con $ \mathbb {R}^d$ -Valorado argumento? Así que uno puede concluir vagamente que $$ \text {infinitesimal and integral calculus} \subsetneq \text {real analysis} \subsetneq \text {analysis}.$$
Actualiza de nuevo:
La pregunta está muy clara ahora. Si el cálculo se entiende como el arte del cálculo, no hay más confusiones.
¡Gracias por todas las dedicatorias a este tema!
Como la mayoría de las respuestas señalaron el eje de la pregunta, espero que no cause ningún malentendido si no acepto ninguna de ellas.
Al final, espero que este puesto ayude a otros en el futuro.
Salud.
