¿Estoy perdiendo algo obvio de entender esta prueba?

Question

Teorema. Existe un conjunto no vacío de números racionales que está delimitada por encima de en $\mathbb{Q}$ pero no menos de límite superior en $\mathbb{Q}$.

Aquí es la parte pertinente de la prueba que voy a preguntar acerca de.

Deje $k=\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}$ ser una cota superior para el conjunto de $S=\{q\in\mathbb{Q}:q^2<2\}$. Supongamos que $k^2<2$. Definir $\delta=2-k^2>0$. Fix $N\in\mathbb{N}$ tal que $$ N\geq\max\{2a+1,3 a/(b^2\delta)\} $$ Desde $N\geq 2a+1$, $N^2\geq N(2a+1)\geq 2Na+1$ y desde $N>3a/(b^2\delta)$, $N^2b^2\delta>3Na\geq 2Na+1$ que las fuerzas de $$ \frac{2Na+1}{N^2b^2}<\delta $$ Definir $l=\frac{Na+1}{Nb}$. Entonces $$ l^2=k^2+\frac{2Na+1}{N^2b^2}<k^2+\delta=2 $$

¿Cuál es mi pregunta?

No importa lo duro que pensar de esta parte de la prueba que yo veo en ninguna parte que $N\geq 2a+1$ es utilizado para demostrar que la $l^2<2$. Estoy seguro de que me estoy perdiendo de algo muy obvio, pero no puedo averiguar. Tal vez el pensamiento de la autora de la prueba era diferente a la mía. ¿Por qué fue necesario corregir $N\in\mathbb{N}$ tal que $$ N\geq\max\{2a+1,3 a/(b^2\delta)\} $$ y no sólo a $N> 3a/(b^2\delta)$? En otras palabras, veo a $N\geq 2a+1$ innecesarios.

$k=\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}$ es un límite superior en $\mathbb{Q}$$S$. Sabemos que $\sqrt{2}\approx1.41421356237$ es el supremum de $S$ en los números reales, por lo $k\geq 1.5$ o $k\geq 1.42$ o $k\geq 1.415$ y la manera en la que las fuerzas de $a>1$.

$l^2=k^2+\frac{2Na+1}{N^2b^2}$ , y puede aproximar $\frac{2Na+1}{N^2b^2}$ como sigue

$$ \begin{align*} \frac{2Na+1}{N^2b^2}&\leq\frac{2Na+N}{N^2b^2}&&\text{since }N\geq 1\\ &=\frac{2a+1}{Nb^2}&&\\ &<\frac{2a+a}{Nb^2}&&\text{since }a>1\\ &=\frac{3a}{Nb^2}&& \end{align*} $$ Así que necesito a $\frac{3a}{Nb^2}<\delta$, lo que implica $N>\frac{3a}{b^2\delta}$.

Answer 1

El autor presenta una prueba puramente basado en cálculos dentro de $\mathbb{Q}$. No depende de una incrustación de $\mathbb{Q}$$\mathbb{R}$, y el conocimiento de que $\mathbb{R}$ es completa.

En la medida en que es el enfoque de la autora un poco diferente a la tuya.

Retomemos el autor de la prueba. Queremos mostrar que no existe un número racional $k$ que es un mínimo de límite superior de $S$, el conjunto de los números racionales tener plaza, a menos de $2$.

Para ello nos muestran que cada vez que nos quieren tomar por lo menos un límite superior $k=\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}$$S$$k^2<2$, podemos encontrar un número racional $l$ $S$ $l>k$ contradiciendo la suposición $k$ es un mínimo de límite superior.

Consideramos que la distancia $\delta=2-k^2=2-\frac{a^2}{b^2}$ desde la plaza de $k$$2$, y la construcción de un número racional $l\in S$ tener una menor distancia.

Tomamos un número natural $N$ con \begin{align*} N\geq\max\{2a+1,3a/(b^2\delta)\} \end{align*}

Desde $N\geq 2a+1$ y desde $N>\frac{3a}{b^2\delta}=\frac{3a}{b^2\left(2-\frac{a^2}{b^2}\right)}=\frac{3a}{2b^2-a^2}$ obtenemos \begin{align*} N^2b^2\delta&=N^2b^2\left(2-\frac{a^2}{b^2}\right)=N^2(2b^2-a^2)\\ &>3Na\\ &\geq 2Na+1 \end{align*} lo que implica \begin{align*} \frac{2Na+1}{N^2b^2}<\delta \end{align*}

Si ahora nos definen $l:=\frac{Na+1}{Nb}>\frac{Na}{Nb}=k$ obtenemos \begin{align*} l^2&=\frac{(Na+1)^2}{N^2b^2}=\frac{N^2a^2+2Na+1}{N^2b^2}\\ &=\frac{a^2}{b^2}+\frac{2Na+1}{N^2b^2}\\ &<\frac{a^2}{b^2}+\delta\\ &=2 \end{align*}

y el reclamo de la siguiente manera.

Nota: De conformidad con la OP del comentario de abajo no necesitamos la siguiente parte del autor de la prueba: \begin{align*} N^2\geq N(2a+1)=2Na+N>2Na+1 \end{align*}