"Espacio de conexión"

Question

Podemos extraer la idea de "conectividad" fuera de su contexto topológico y estudio de las propiedades abstractas de "conectividad"?

Defino un conectivo espacio para ser un set $X$ junto con una colección de $\gamma$ de los subconjuntos de a $X$, la cual definimos como "conectado". $\gamma$ contiene cada singleton subconjunto de $X$, y para todos los $A, B \in \gamma$ tal que $A \cap B \neq \emptyset$ tenemos $A \cup B \in \gamma$.

Podría ser interesante el estudio de las funciones entre conectivo espacios que conservan conjuntos conectados. O, más sugestiva, quizás funciones que cada pre-imagen de un conjunto conectado está conectado... ¿esto existen en la literatura?

Answer 1

La respuesta es sí. Vea este artículo (J. Muscat & D. Buhagiar - espacios conectivos).

Añadido: Hice algunos googlear y encontrar también este preprint (S. Dugowson - en espacios de conectividad) que examina ideas relacionadas. Las referencias aquí sugieren que dichos espacios han sido estudiados ya por R. Börger en 1983.

Answer 2

En mi libro "la Topología y Groupoids" quiero dar una definición de la conexión de un espacio de la siguiente manera. Deje $\mathbf 2$ ser discreto con espacio topológico en el set $\{0,1\}$. A continuación, un espacio $X$ está conectado en el sentido usual de la palabra si y sólo si cada función continua $X \to \mathbf 2$ es constante. Esta definición puede ser utilizado para algunos prolijo pruebas: véase mi respuesta a la pregunta 90746. Parte del punto es el cambio de énfasis de las propiedades internas del espacio a la visión del espacio en la categoría de $\mathsf{ Top}$ de los espacios y las funciones continuas.

Observe también que un singleton espacio de $S$ es un terminal de objeto en $\mathsf{ Top}$ $\mathbf 2= S \sqcup S$ (distinto de la unión) por lo que uno tiene cerca a una definición categórica de la conectividad.