Relación entre la entropía de agujero negro de Hawking-Bekenstein y enredo de la entropía

Question

Actualmente estoy haciendo un proyecto sobre dos caras de Anuncios de los agujeros negros de Schwarzschild en el contexto de Ads/CFT. Quiero mostrar que el enredo de entropía entre los dos CFTs corresponde aproximadamente a la de Hawking-Bekenstein agujero negro de la entropía.

Hawking-entropía de Bekenstein

Vamos a hacer esto para el 3D caso (también conocido como el BTZ agujero negro) para mantenerlo simple. La métrica de la BTZ agujero negro es $$ \text{d} s^2 = -f(r)\text{d} t^2 + f(r)^{-1}\text{d} r^2 + r^2\text{d} \phi^2 $$ con $f(r)=k^2(r^2-\mu^2)$$\mu^2=\dfrac{8G_nM}{k^2}$. En este caso, el horizonte área está dada por $$ A_h = 2\pi r_h = 2\pi \frac{2\sqrt{2G_nM}}{k} $$ Y el agujero negro de la entropía es $S_{bh} = \frac{A_h}{4 G}$. El agujero negro de la temperatura está dada por $\frac{\kappa}{2\pi}$ $\kappa$ de la gravedad en la superficie. Si calcular $\kappa$ (lo que implica el cálculo de símbolos de Christoffel) y, a continuación, sustituimos en $T_h$, encontrará $ S_{bh} = 2M/T$ (donde $M$ es el agujero negro de la masa.)

El enredo de la entropía

En el CFT lado, un agujero negro corresponde a un estado térmico de los dos CFTs: $$ \mid \psi (t)\rangle = \frac{1}{\sqrt{Z}} \sum_n e^{-\beta E_n/2} e^{-2iE_nt} \mediados n \rangle_1 \otimes \mediados n \rangle_2 $$ donde $ Z = \sum_n e^{-\beta E_n/2} $. Después de haber trazado de uno de los CFTs nos encontramos con una reducción de la densidad de la matriz $$ \rho_1 = \text{Tr}_2 \mid\psi(t)\rangle \langle \psi (t) \mid = \frac{1}{Z}\sum_n e^{-\beta E_n}\mediados n \rangle \langle n \mid. $$ A partir de esto podemos calcular el enredo de entropía entre los dos CFTs: $$ S_{ent} = - \text{Tr}(\rho_1 \log \rho_1) = \frac{1}{Z} \sum_n e^{-\beta E_n} (\beta E_n + \log Z). $$

La vinculación de los dos

Como tengo entendido, uno debe ser capaz de encontrar que estos dos entropías son aproximadamente iguales, pero yo no veo cómo obtener este. Puede alguien señalar cómo debo hacer esto?

edit: creo que el enlace entre los dos se basa en las propiedades de los super-Yang-Molino del CFT que necesita estar conectado para obtener el $E_n$. Esto puede ser un poco más allá de mi alcance ya que realmente no tengo ningún antecedente en CFT todavía.

Answer 1

Tienes razón - el problema radica en una falta de conocimiento de la CFT lado. Esto es bastante complicado, así que sólo voy a ser capaz de darle consejos y referencias. Una respuesta completa podría fácilmente llenar 50 páginas!

Estamos buscando a $(2+1)$ dimensiones de la gravedad de doble a de una $(1+1)$ dimensiones CFT. Nuestro problema es que ahora para calcular la entropía de entrelazamiento en el correspondiente CFT. Tenga en cuenta que esta no es realmente una "super-Yang-Mills" de la teoría. De hecho, no tenemos que estar muy seguro de la teoría del todo, porque resulta que la conformación de simetría nos dice lo suficiente como para determinar la entropía hasta algún factor.

El siguiente paso es ir a la literatura, más precisamente este papel por Cardy y Calabrese. Calcular el enredo de la entropía asociada a un área definida $A$ de la $1+1$ dimensiones de espacio-tiempo en el que la teoría de la vida. Más precisamente, se calcula una medida de enredo entre todo lo que viven dentro de $A$ y todo lo que viven fuera de $A$.

Se procede mediante el uso de la réplica truco (bonita reseña aquí) en una red de QFT que dice que

$$ S_A = -\textrm{Tr} (\rho_A \log \rho_A) = -\lim_{n\to 1}\frac{\partial}{\partial n} \textrm{Tr}\rho_A^n $$

donde la matriz de densidad de $\rho_A$ se da más o menos por su fórmula para $\rho_1$ en la pregunta.

¿Por qué esta ayuda? Así se elimina la complicada expresión dentro de la $\textrm{Tr}$ y la reemplaza con uno que se puede calcular más fácilmente. De hecho, se puede calcular sólo de la conformación de simetría el uso de una superficie de Riemann de interpretación. Rozando abajo a la ecuación de $(16)$ en el papel por encima de la voluntad de dar una idea del personaje.

Después de todo ese trabajo, la respuesta viene a ser

$$S_A = c\log(l/a)$$

donde $c$ es la central de carga de la CFT, $l$ es el diámetro de nuestra región $A$, e $a$ es el espaciado reticular.

A primera vista, apenas se parece a la Bekenstein-Hawking fórmula! De hecho, hay una buena razón para ello. El Bekenstein-Hawking resultado es, efectivamente, semiclásica, ¿por qué el enredo de la entropía es totalmente cuántica. Por lo que debemos esperar para obtener $S_{BH}$ como el primer término de una expansión de $S_A$ tal vez.

En realidad, la realización de cierta forma esta es una técnica de ejercicio en la adecuación de los parámetros en cada lado de la AdS/CFT de la correspondencia. Para más detalles, usted necesita para sumergirse en este papel por Cadoni y los Mellis. La expansión de la que hablé es la ecuación de $(41)$.

La mejor de las suertes con el proyecto, supongo que es una tesina de master? Este tema puede ser bastante intimidante al principio, pero hay un montón de interesantes las matemáticas y la física. Y realmente no importa si usted no entiende todo - nadie lo hace!