Es bien sabido que $$\sum_{n > 0}\frac{1}{n}$$ diverges, but $% $ $\sum_{n > 0}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$converge. ¿Del mismo modo, $$\sum_{p}\frac{1}{p}$$ diverges, but $$\sum_{p} \frac{1}{p^2}$$ clearly converges. Is any simple closed form known for this sum, like the one for $ \zeta(2)$?
Respuesta
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Existe la Función de Zeta Prime para esto:
$$P(2) = 0.4522474220041065...$$
De hecho (según el enlace),
$$P(2)=\sum_{k=1}^{\infty}{\mu(k)\over k}\log(\zeta(2k))=0.4522474200\dots$$
donde $\mu(k)$ es la Función de Mobius. En general,
$$P(s)=\sum_{k=1}^{\infty}{\mu(k)\over k}\log(\zeta(ks))$$
