Si $0<a<1, 0<b<1$, $a+b=1$, entonces probar que $a^{2b}+ b^{2a} \le 1$

Question

Yo he estado realmente luchando con este problema... por favor ayuda! Dejado a, b sea números verdaderos. Si $0<a<1, 0<b<1, a+b=1$, entonces probar que $a^{2b} + b^{2a} \le 1$

Lo que he pensado hasta ahora: sin pérdida de generalidad podemos suponer que $a \le b$, ya que es simétrico en $a^{2b} + b^{2a}$$a$ y $b$. Esto nos da $0<a \le 1/2, 1/2 \le b<1$. Pero entonces estoy atrapado. También pensé de resolver por el método de multiplicadores de Lagrange, pero produce cálculos grandes.

Cualquier ayuda es bienvenida :)