Límite de $\frac{x^{x^x}}{x}$ $x\to 0^+$

Question

Me he encontrado con el siguiente problema: Evaluar $$\lim_{x\to 0^+}\cfrac{x^{x^x}}{x}.$$

Esto es fácilmente "$\frac{0}{0}$" forma, así que he usado la regla de L'Hospital, pero fue gravemente desordenado, y rápido. ¿Alguien puede recomendar un enfoque alternativo?

Answer 1

Usted puede evitar la serie aprovechando el límite conocido $\lim_{x\to 0^+}x^x=1$. Deje $f(x)=\ln\left(\dfrac{x^{x^x}}x\right)=(x^x-1)\ln x$. Entonces

$$\begin{align*} \lim_{x\to 0^+}f(x)&=\lim_{x\to 0^+}(x^x-1)\ln x\\\\ &=\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{\frac1{x^x-1}}\\\\ &=\lim_{x\to 0^+}\frac{1/x}{-\left(x^x-1\right)^{-2}x^x(1+\ln x)}\\\\ &=-\lim_{x\to 0^+}\frac{\left(x^x-1\right)^2}{x(1+\ln x)}\\\\ &=-\lim_{x\to 0^+}\frac{2\left(x^x-1\right)(1+\ln x)}{2+\ln x}\\\\ &=-2\left(\lim_{x\to 0^+}(x^x-1)\right)\left(\lim_{x\to 0^+}\frac{1+\ln x}{2+\ln x}\right)\\\\ &=-2\cdot0\cdot1\\\\&=0\;, \end{align*}$$

y el límite es de $1$.

Answer 2

Usando el estándar de los límites de $\lim_{x \to 0^+} x \, (\ln x)^a = 0$ ( $a>0$ ) y $\lim_{t \to 0} \frac{e^t-1}{t} = 1$ nos encontramos con que $$ \frac{x^{x^x}}{x} = \frac{e^{x^x \ln x}}{e^{\ln x}} = e^{(x^x-1) \ln x} = \exp((e^{x \ln x}-1) \ln x) = \exp\left( \frac{e^{x \ln x} - 1}{x \ln x} \cdot x \,(\ln x)^2 \right) \a \exp(1 \cdot 0) = 1 $$ como $x \to 0^+$.

Answer 3

Esto realmente no es malo. Tenemos

$\displaystyle \frac{x^{x^x}}{x} = \large e^{\log(x^{x^x}) - \log(x)} = e^{\log(x)(e^{x\log(x)}-1) } = e^{\log(x)^{e^{x\log(x)}-1}} = x^{e^{x\log(x) - 1}} $

y por lo que la continuidad de $\exp(x)$ asegura que

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{x^{x^x}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \large x^{e^{x\log(x) - 1}} = x^{e^{\lim_{...} (x\log(x) -1)}} = x^0 $

y por lo que el límite es 1, como se había prometido.

Answer 4

Para un rápido/solución simple, voy a recurrir a 2 de primaria límites, es decir, $\lim_{x\to0} \frac{\ln(1+x)}{x}=1$
y $\lim_{x\to0^+} x^x=1$. Vamos a proceder con la prueba:

$$\lim_{x\to 0^+}\cfrac{x^{x^x}}{x}=\lim_{x\to 0^+}x^{x^x-1}=\lim_{x\to 0^+}x^{{\frac{x^x-1}{\ln x^x}}\cdot\ln x^x}=\lim_{x\to 0^+}x^{\ln x^x}=\lim_{x\to 0^+}e^{x {(\ln x)}^{2}}=1.$$

Q. E. D.