Un polinomio $P$ con coeficientes integrales satisface $P(n)>n$ para todos los enteros positivos $n$ . Todo entero positivo $m$ es un factor de algún número de la forma $P(1),\, P(P(1)),\, P(P(P(1))),\dots $ . Demostrar que $P(x)=x+1$ .
Respuesta
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Denotemos los iterados por $x_0 = 1, x_{n+1} = P(x_n)$ .
Supongamos que los coeficientes de $P$ son integrales.
Si en algún momento $P(x_n) > 2x_n$ Entonces afirmo que $m = P(x_n)-x_n$ no divide ningún iterado. Primero, $x_n < m$ Así que $x_0,\ldots,x_n$ no puede ser divisible por $m$ . En segundo lugar, demostramos por inducción que para $k \geq n$ , $x_k \equiv x_n \pmod{m}$ :
$x_{k+1} = P(x_k) \equiv P(x_n) \equiv x_n \pmod{m}$ .
Desde $x_n < m$ vemos que $m$ no divide ninguno de los iterados.
Concluimos que siempre $P(x_n) \leq 2x_n$ . Así, $P(x) = ax+b$ con $a \leq 2$ . Por un lado $P(1) > 1$ y por otro lado $P(1) \leq 2$ . Así, $P(1) = 2$ y, por lo tanto, o bien $a = 1$ o $a = 2$ . Si $a = 2$ entonces $P(x) = 2x$ y sólo generamos potencias de $2$ . Así, $a = 1$ y $P(x) = x + 1$ .
