Número impar de reales con particiones iguales

Question

Considere el siguiente problema:

Se le da un conjunto múltiple (un conjunto con repeticiones permitidas) de $2n+1$ números reales, decir $S = \{r_1, \dots, r_{2n+1}\}$.

Estos números son tales que para cada $k$, el conjunto múltiple $S - \{r_k\}$ se puede dividir en dos multisets de tamaño $n$ cada uno, de tal manera que la suma de los números en un conjunto múltiple es igual a la suma de los números en el otro.

Demostrar que todos los números deben ser iguales.( es decir,$r_{i} = r_{j}$)

Por favor, dejar de seguir leyendo si quieres probar y resolver este problema.

Spoiler:

Ahora este problema puede ser fácilmente resuelto mediante Álgebra Lineal. Tenemos un conjunto de $2n+1$ ecuaciones lineales, lo que corresponde a una ecuación de matriz $Ar = 0$. Se puede demostrar que $A$ tiene rango, al menos,$2n$, lo que implica el resultado.

La pregunta es, existe alguna solución a este problema que no implica ningún álgebra lineal?

Answer 1

Usted no puede evitar cierta clase de álgebra, porque la afirmación es falsa en un conmutativa grupo donde $nx = 0$ tiene soluciones no triviales.

Si usted permite el uso del álgebra lineal hecho de que el rango es el mismo en cualquier campo que contiene los coeficientes de las ecuaciones, es suficiente para considerar racional (y por lo tanto entero) de soluciones y extra estructura está disponible. Entonces, uno puede evitar el uso de determinantes o matrices:

Si $\Sigma$ es la suma de todos los elementos, $\Sigma - r_i$ es aun y así todos los $r_i$ tienen la misma paridad. Podemos reemplazar cada una de las $r_i$ $(r_i-r_k)/2$ y obtener una solución más pequeña, donde $r_k$ es el más pequeño de los números. Este proceso termina en la solución cero, y es reversible, por lo que la solución original tiene todos los números iguales.

(agregado: se puede considerar esto como un uso de ya sea el real o 2-ádico métrica en números enteros, por lo que este debe corresponder a un álgebra lineal argumento utilizando las desigualdades o la reducción de la mod 2^(2n+1) en el sistema de ecuaciones o de su determinante.)