Ejemplo de altura $n$ ideal con $I/I^2$ (localmente) $n$ -generada, pero $I$ no lo es.

Question

Para $R$ un anillo noetheriano conmutativo de dimensión $d$ Estoy buscando un ejemplo en el que $I \subset R$ es un ideal de altura $n \lt d$ tal que $I/I^2$ es generado por $n$ elementos (localmente $n$ -generado también está bien), sin embargo, $I$ no lo es. Además, sería de gran ayuda que su respuesta abordara también la intuición geométrica del ejemplo.

Answer 1

Alex tiene razón. Deja que $R=(\mathbb Z[\sqrt{6}])[X]$ y tomar $I=(2,\sqrt{6})$ . Entonces $R$ tiene dimensión $2$ , $I$ tiene altura $1$ sino que es generado por dos elementos, y $I^2=(2,2\sqrt{6})$ así que $I/I^2$ es generado por el elemento $\sqrt{6}+I^2$ .

Answer 2

Tomemos un dominio Dedekind con un ideal no principal $P$ . Entonces $P/P^2$ es generado por un elemento pero no $P$ .

Tu pregunta tiene respuesta negativa porque preguntas demasiado. Sin embargo, según su hipótesis $I$ es localmente (en $\mathrm{Spec}(R)$ ) generado por $n$ elementos (utilice Nakayama).

EDITAR He dicho "pides demasiado" porque la interpretación geométrica de tu hipótesis sobre $I/I^2$ es que existe un homomorfismo $O_X^n \to I^{\sim}$ de $O_X$ -(donde $X=\mathrm{Spec}(R)$ , $O_X$ es la gavilla estructural y $I^{\sim}$ es la gavilla coherente asociada a $I$ ) que es suryente en los puntos de $V(I)$ (por lo tanto, es subjetivo en alguna vecindad abierta de $V(I)$ ). Pero no hay ninguna razón para que la subjetividad se extienda a todo el $X$ .