Colectores y cartas

Question

Tengo una muy tonto y pregunta básica acerca de encontrar gráficos para un colector. El punto es: estoy de auto aprendizaje de la geometría diferencial, sin embargo, no he encontrado la respuesta para esto en el libro ni en la web. Una vez he preguntado acerca de cómo encontrar los gráficos, pero ahora mi punto es otro: es la forma de representar los elementos de un colector antes de empezar a crear los gráficos.

En primer lugar, estoy usando Do Carmo la definición de múltiples: Un suave colector de dimensión $n$ es un conjunto $M$ con una familia de bijective mapas de $\varphi_\alpha : U_\alpha \to M$ a partir de conjuntos de $U_\alpha\subset \mathbb{R}^n$ $M$tal forma que:

1. $\bigcup_\alpha\varphi_\alpha(U_\alpha)=M$
2. Para cada par $\alpha, \beta$ $\varphi_\alpha(U_\alpha)\cap\varphi_\beta(U_\beta)=W\neq\emptyset$ hemos $\varphi_\alpha^{-1}(W)$, $\varphi_\beta^{-1}(W)$ abierta en $\mathbb{R}^n$ y $\varphi_\beta^{-1}\circ\varphi_\alpha$, $\varphi_\alpha^{-1}\circ\varphi_\beta$ son diferenciables.
3. La familia $\left\{U_\alpha, \varphi_\alpha\right\}$ es de máxima con respecto a las condiciones 1 y 2.

Entre todas las definiciones de suave colector, este fue el que yo prefiera trabajar con. Mi punto aquí es: hacemos esta definición con el fin de evitar la necesidad de considerar los colectores como subconjuntos de algunas espacio euclidiano. En otras palabras, queremos lidiar con ellos sin hacer referencia a algún espacio ambiente.

Mi problema con esto es que para encontrar las listas de éxitos. Tengo que construir bijective funciones de$\mathbb{R}^n$$M$, y por lo que mi duda es: ¿cómo se describen los elementos de $M$?

El ejemplo clásico de encontrar gráficos para la esfera $S^n$ asume que la esfera se define como un subconjunto de a $\mathbb{R}^{n+1}$, por lo que sabemos que si $p \in S^n$ hay $n$ números reales $p^i$ tal que $p = \left(p^1 ,\cdots, p^n\right)$ que simplemente satisfacer algunas condiciones. A continuación, se hace más fácil encontrar los gráficos, porque primero de todo tenemos que saber cómo describir los elementos del conjunto. Segundo, porque podemos utilizar el espacio ambiente, por lo que podemos utilizar proyecciones estereográficas, que depende del espacio ambiente.

Pero en general, no queremos utilizar un espacio ambiente. Así, si se me pidió por ejemplo, para encontrar las listas de la esfera, sin el espacio ambiente, ¿qué debo hacer? Bien, ahora si $p \in S^n$, no puedo decir que $p$ es una $n$-tupla de números, y no puedo usar también las cosas desde fuera de $S^n$, al igual que los planos y las líneas utilizadas en las proyecciones estereográficas.

Estoy confundido con todo eso. En entender los teoremas, las pruebas, el uso de diagramas de transición para garantizar la diferenciabilidad, y así sucesivamente. Mi único problema es encontrar los gráficos, me siento en la necesidad de ejemplos, pero no he encontrado muchos. Do Carmo de ejemplos de tratar sólo con las superficies, y él siempre se presenta como subconjuntos de a $\mathbb{R}^3$.

Puede alguien explicar los puntos o punto de darme algunas referencias? Lo siento por esa tonta y pregunta básica. Y también lo siento por el largo texto, yo simplemente no encontrar una manera de hacerla más pequeña.

Answer 1

Espero que el siguiente ejemplo está cerca de lo que te gustaría ver.

Deje $ n \in \mathbb{N} $, y definir una relación de equivalencia $ \sim $ $ \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{ \mathbf{0}_{n+1} \} $ como sigue: $$ \forall \mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2} \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{ \mathbf{0}_{n+1} \}: \quad \mathbf{x}_{1} \sim \mathbf{x}_{2} \stackrel{\text{def}}{\iff} (\exists \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}) (\mathbf{x}_{1} = \lambda \cdot \mathbf{x}_{2}). $$ Dado cualquier $ (x_{1},\ldots,x_{n+1}) \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{ \mathbf{0}_{n+1} \} $, se denota su $ \sim $-clase de equivalencia por $$ [x_{1}:\ldots:x_{n+1}]. $$ Llamamos a $ (\mathbb{R}^{n+1} \setminus \{ \mathbf{0}_{n+1} \})/\sim $ el real proyectiva $ n $-espacio, y normalmente se denota por a $ \mathbb{R} \mathbb{P}^{n} $. Intuitivamente, uno puede pensar de $ \mathbb{R} \mathbb{P}^{n} $ como el conjunto de líneas rectas en $ \mathbb{R}^{n+1} $ que pasan por el origen.

Observar que $ \mathbb{R} \mathbb{P}^{n} $ no nació como un subconjunto de algunas ambiente el espacio Euclidiano $ \mathbb{R}^{N} $. Aunque los elementos de $ \mathbb{R} \mathbb{P}^{n} $ puede ser visualizado como líneas rectas en $ \mathbb{R}^{n+1} $, esta visualización es irrelevante si vamos a tratar a los elementos como puntos de un espacio abstracto. Por lo tanto, en el nivel más fundamental, debemos ver en la $ \mathbb{R} \mathbb{P}^{n} $ simplemente como un conjunto equipado con una relación de equivalencia, sin tener que preocuparse sobre cómo puede ser incorporado en el espacio Euclidiano.

A pesar de la naturaleza abstracta de $ \mathbb{R} \mathbb{P}^{n} $, podemos, curiosamente, dotarla de un colector de la estructura. Para cada una de las $ i \in \{ 1,\ldots,n + 1 \} $, definir un subconjunto $ U_{i} $ $ \mathbb{R} \mathbb{P}^{n} $ como sigue: $$ U_{i} := \{ [x_{1}:\ldots:x_{n+1}] ~|~ x_{i} \neq 0 \}. $$ A continuación, defina 'gráfico' maps $ \varphi_{i}: U_{i} \to \mathbb{R}^{n} $ por $$ \varphi([x_{1}:\ldots:x_{n+1}]) \stackrel{\text{def}}{=} \left( \frac{x_{0}}{x_{i}},\ldots,\widehat{\frac{x_{i}}{x_{i}}},\ldots,\frac{x_{n+1}}{x_{i}} \right) \in \mathbb{R}^{n}, $$ donde el $ ~ \widehat{\hspace{4mm}} ~ $-símbolo indica una omitido plazo. A continuación, $ \{ (U_{i},\varphi_{i}) \}_{i=1}^{n+1} $ es un atlas que hace que $ \mathbb{R} \mathbb{P}^{n} $ $ n $- dimensiones múltiples. Vamos a dejar la derivación de los mapas de transición como un ejercicio.

Answer 2

En cada caso, la construcción de gráficos a partir de los primeros principios requiere generalmente de un poco de ingenio. Esta es la razón por la geometría diferencial en el espacio Euclidiano es mucho más fácil-el espacio viene equipado con muy naturales gráficos(es decir, Cartesiano,plano y cilíndrico coordenadas polares,en coordenadas esféricas). Estás de suerte, ya que la geometría diferencial de todas las disciplinas matemáticas, tiene el mayor número de borrar de los libros de texto para el auto aprendizaje. No sólo hay un montón de buena reales de los libros de texto, hay una gran cantidad de recursos en línea, como Nigel Hitchen maravilloso notas de la conferencia en los colectores. Los mejores lugares para comenzar en serio el aprendizaje mediante el auto-estudio sobre los colectores con un montón de ejemplos son, probablemente, los libros de texto por John M. Lee, Introducción A Topológica de los Colectores y de Introducción a la Suave Colectores, tanto en su segunda edición. Ambos tienen un montón de ejemplos y fotos maravillosas. Otra, mucho más barato libro que creo que usted encontrará útil es la de David Gauld de la Topología Diferencial:Una Introducción, ahora en Dover. Utiliza un poco los conceptos de cercanía para definir la topología básica, pero me gustaría simplemente ignorar estas si ya sabes topología básica, ya que son equivalentes a la habitual. La parte buena de Gauld es que tiene muy detallada de ejemplos de gráficos en Euclidiana espacios y thier relacionados con la incrustación de theorums. Esto le ayudará a entender cómo los gráficos se construyen en resumen colectores. Usted también debe tomar un vistazo a Loring Tu es Una Introducción a los Colectores. Tiene una muy clara,bella y la presentación visual de los materiales más corto y sólo requiere de pregrado análisis y el álgebra para entender. Y finalmente, un último libro usted encontrará que es útil es Una Introducción A la diferencia de los Colectores Y de la Geometría de Riemann por William M. Boothby, que da un maravilloso curso puente entre "cálculo avanzado" y un moderno curso on diferenciable colectores, completo y con muchas concreto cálculos y ejemplos de gráficos en ambos Euclidiana y abstracta de los colectores. Creo que voy particular encontramos Boothby útil para aclarar muchas de tus preguntas. Buena suerte!